北京市2009屆高三第二次模擬考試
數學文科
（試卷總分150分 考試時間120分鐘）
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的.）
1．
的值是（ ）
A．
B．
C． 
D． 
2．某大學有學生1500人，其中漢族學生1200人，回族學生250人，藏族學生50人，學校食堂為了解學生的就餐情況，現抽取容量是150的樣本，則抽取回族學生人數是（ ）
A．15
B．
3．已知集合
，集合
，則
（ ）
A． 
B． 
C．
D． 
4．設向量
，
，若
∥
，則
（ ）
A．-1
B．
5．已知正項等差數列
的前6項和為9，
成等比數列，則數列的公差為（ ）
A． 
B．
C．或 D． 
或
6．若雙曲線
的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的
，則此雙曲線的漸近線方程是( )
A.
y=x+3
B. y=x
7.設
、
為正實數，則下列不等式恒成立的是( )
①
；②
；③
；④
。
A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③
8．設
是
展開式的中間項，若
在區間
上恒成立，則實數
的取值范圍是（ ）
A．
B．
C． 
D．
9．函數
的最小正周期是( )
A.
B.
C. 
D.
10．用平面
截半徑為
的球
，若截面圓的內接正三角形
的邊長亦為，則三棱錐
的體積為（
）
A．
B．
C．
D．
11.設
是函數
的反函數，則
與
的大小關系為（ ）
A． 
B.
C．
D
12．直線
，
將圓面
分成若干塊，現用5種顏色給這若干塊涂色，每塊只涂一種顏色，且任意兩塊不同色，共有120種涂法，則m的取值范圍是 （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確的答案填在指定位置上）
13． “
”是“
表示直線
右側區域”的 條件。
14．已知數列的前
項和
比集合
的子集個數少１，則數列通項公式是
。
15.如圖，正四面體
中，
是底面上的高，
為
的中點，則與
所成角的余弦值為
。
16,已知點
為
的準線與
軸的交點,點
為焦點，點
為拋物線上兩個點，若
，則向量
與
的夾角為
。
三．解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17.(本小題滿分10分)
已知
的內角
的對邊分別為
，其中
，
，
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）若
，求的面積。
18. (本小題滿分12分)
高中會考成績分A，B，C，D四個等級，其中等級D為會考不合格，某學校高三學生甲參加語文、數學、英語三科會考，三科會考合格的概率均為
，每科得A，B，C，D 四個等級的概率分別為
，
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若有一科不合格，則不能拿到高中畢業證，求學生甲不能拿到高中畢業證的概率；
（Ⅲ）若至少有兩科得A，一科得B，就能被評為三好學生，則學生甲被評為三好學生的概率；
19．（本小題滿分12分）
已知數列的前項和為，且
，
，
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求數列的通項公式
；
（Ⅲ）設
，求數列
的前項和
。
20．(本小題滿分12分)
已知四棱錐
的底面
為直角梯形，
底面，
∥
，
，
，點
、
分別在棱
、上，且
平面
，
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求二面角
的正切值的大小；
（Ⅲ）求與平面所成角正切值的大小。
21．(本小題滿分12分)
已知拋物線
與橢圓
都經過點
，它們在軸上有共同焦點，橢圓的對稱軸是坐標軸，拋物線的頂點為坐標原點。
（Ⅰ）求拋物線與橢圓的方程；
（Ⅱ）已知動直線
過點
，交拋物線于
兩點，是否存在垂直于軸的直線
被以
為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由。
22．(本小題滿分12分)
已知函數
的導函數是偶函數，
（Ⅰ）若
，求函數的極值；
（Ⅱ）設函數在點
處的切線斜率為
，若在區間
上為增函數，求的取值范圍。
1．解析：
，故選A。
2．解析：抽取回族學生人數是
，故選B。
3．解析：由
，得
，此時
，所以，
，故選C。
4．解析：∵
∥
，∴
，∴
，故選C。
5．解析：設公差為
，由題意得，
；
，解得
或
，故選C。
6．解析：∵雙曲線
的右焦點到一條漸近線的距離等于焦距的
，∴
，又∵
，∴
，∴雙曲線的漸近線方程是
,故選D.
7.解析：∵
、
為正實數，∴
，∴
；由均值不等式得
恒成立，
，故②不恒成立，又因為函數
在
是增函數，∴
，故恒成立的不等式是①③④。故選C.
8．解析：∵
，∴
在區間
上恒成立，即
在區間上恒成立，∴
，故選D。
9．解析：∵
，∴此函數的最小正周期是
，故選C。
10．解析：如圖，∵正三角形
的邊長為
，∴
，∴
，又∵
，∴
，故選D。
11．解析：∵
在區間
上是增函數且
，∴其反函數
在區間上
是增函數，∴
，故選A
12．解析：如圖，①當
或
時，圓面
被分成2塊，涂色方法有20種；②當
或
時，圓面被分成3塊，涂色方法有60種；
③當
時，圓面被分成4塊，涂色方法有120種，所以m的取值范圍是
，故選A。
13．解析：將
代入
結果為
，∴
時，
表示直線
右側區域，反之，若表示直線右側區域，則
，∴是充分不必要條件。
14.解析：∵
，∴
時，
，又
時，
滿足上式，因此，
。
15．解析：設正四面體的棱長為，連
，取的中點
，連
，∵
為
的中點，∴
∥，∴
或其補角為與
所成角，∵
，
，∴
，∴
，又∵
，∴
，∴與所成角的余弦值為
。
16．解析：∵
，∴
，∵點
為
的準線與
軸的交點，由向量的加法法則及拋物線的對稱性可知，點
為拋物線上關于軸對稱的兩點且做出圖形如右圖，其中
為點
到準線的距離，四邊形
為菱形，∴
，∴
，∴
，∴
，∴
，∴向量
與
的夾角為
。
17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，
，
，…2分
∴
，
，………4分
（Ⅱ）∵
，
，∴
，∴
，………………………6分
又∵
，∴
，∴
，………………………8分
∴
。………………………10分
18.解析：（Ⅰ）∵
，∴
；……………………理3文4分
（Ⅱ）∵三科會考不合格的概率均為
，∴學生甲不能拿到高中畢業證的概率
；……………………理6文8分
（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分別為
，∴學生甲被評為三好學生的概率為
。……………………12分
19．(12分)解析：（Ⅰ）∵
，∴
，
，
，……………3分
（Ⅱ）∵
，∴
，
∴
，
又
，∴數列
自第2項起是公比為
的等比數列，………………………6分
∴
，………………………8分
（Ⅲ）∵
，∴
，………………10分
∴
。………………………12分
20．解析：（Ⅰ）∵
∥
，
，∴
，∵
底面
，∴
，∴
平面
，∴
，又∵
平面
，∴
，∴
平面
，∴
。………………………4分
（Ⅱ）∵平面，∴
，
，∴
為二面角
的平面角，………………………6分
，
，∴
，又∵平面，
，∴
，∴二面角的正切值的大小為
。………………………8分
（Ⅲ）過點
做
∥，交于點，∵平面，∴
為在平面內的射影，∴
為與平面所成的角，………………………10分
∵
，∴
，又∵∥，∴和與平面所成的角相等，∴與平面所成角的正切值為
。………………………12分
解法2：如圖建立空間直角坐標系，（Ⅰ）∵，
，∴點
的坐標分別是
，
，
，∴
，
，設
，∵平面，∴
，∴
，取
，∴
，∴。………………………4分
（Ⅱ）設二面角的大小為
，∵平面的法向量是，平面
的法向量是
，∴
，∴
，∴二面角的正切值的大小為。………………………8分
（Ⅲ）設與平面所成角的大小為，∵平面的法向量是
，
，∴
，∴
，∴與平面所成角的正切值為。………………………12分
21.解析：（Ⅰ）設拋物線方程為，將
代入方程得
所以拋物線方程為
。………………………2分
由題意知橢圓的焦點為
、
。
設橢圓的方程為
，
∵過點，∴
，解得，
，
，
∴橢圓的方程為
。………………………5分
（Ⅱ）設
的中點為，
的方程為：
，
以為直徑的圓交于
兩點，中點為
。
設
，則
∵
………………………8分
∴
………………………10分
當
時，
，
，
此時，直線的方程為
。………………………12分
22．(12分)解析：（Ⅰ）∵
是偶函數，∴
，
又∵
∴
，
，………………………2分
由
得，
，
∵
時，
；
時，
；
時，；∴
時，函數
取得極大值
，
時，函數取得極小值
。………………………5分
（Ⅱ）∵
在區間
上為增函數，∴
在上恒成立，∴
且
在區間
上恒成立，………………………7分
∴
∴
……………………9分
又∵
=
，∵
∴
，∴
的取值范圍是
。………………………12分
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