2009年云南省曲靖一中高考沖刺卷文科數學
（五）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題．每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只
有一項是符合題目要求的．
1．已知集合
，則
A．
B．
C．
D．
2．已知函數
是定義在
上的奇函，當
時，
，那么
的值
為
A．2 B．
C．0 D．
3．函數
在
上恒有
，則實數
的取值范圍是
A．（1，2） B．
C．
D．
4．已知直線
與橢圓
總有交點，則m的取值范圍為
A．（1，2] B．[1，2）
C．
D．
5．從5名羽毛球隊員中選3人參加團體比賽，其中甲在乙之前出場的概率為
A．
B．
C．
D．
6．已知
，則
A．1 B．
C．
D．2
7．已知
的展開式前三項的系數成等差數列，則展開式中有理項的個數是
A．1 B．
有關
8．使函數
是奇函數，且在
上是減函數的
的
一個值是
A．
B．
C．
D．
9．已知
表示的平面區域包含點（0，0）和（，1），則
的取值范圍是
A．（
，6） B．（0，6） C．（0，3） D．（，3）
10．橢圓
的左準線為
，左、右焦點分別為
、
，拋物線
的準線為，
焦點是，與
的一個交點為
，則
的值等于
A．
B．
C．4 D．8
11．一副撲克牌去掉兩張王后還有52張，將牌發給4個人，每人13張，則某人獲得的13
張牌中花色齊全的全部情況數為
A．
B．
C．
D．
12．如圖甲所示，四邊形
中，
，將
沿
折起，使平面
平面
，構成三棱錐
，如圖乙所示，則二面角
的正切值為
A． B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．
13．不等式
的解集是
．
14．已知過球面上
、
、
三點的截面和球心的距離是球直徑的
，且
，
則球面的面積為
．
15．設直線
與圓
的交點為
，當
、
取最小值
時，實數的值為
．
16．給出下面四個命題，其中正確命題的序號是
（填出所有正確命題的序號）．
① 若
，則
；
② 函數
的值域為；
③ 數列
一定為等比數列；
④ 兩個非零向量
，若
，則
．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
在
中，、
、
分別是角、、的對邊，且
、
、
，若
，試判斷三角形的形狀．
18．（本小題滿分12分）
某會議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號相同．假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關，該型號的燈泡壽命為1年以上的概率為
，壽命為2年以上的概率為
，從使用之日起每滿1年進行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時不換．
（1）在第一次燈泡更換工作中，求不需要更換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；
（2）第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該盞燈需要更換燈泡的概率；
（3）當
時，求在第二次燈泡更換工作中，至少需要更換4只燈泡的概率（結果保留兩個有效數字）
19．（本小題滿分12分）
已知函數
圖象上的點
處的切線方程為
．
（1）若函數在
時有極值，求的表達式；
（2）函數在區間
上單調遞增，求實數的取值范圍．
20．（本小題滿分12分）
如圖所示，已知正四棱柱
的底面邊長為1，點
在棱
上，
平面
，截面的面積為
．
（1）求
與底面所成角的大小；
（2）若
與的交點為
，點
在
上，且
，求
的長．
21．（本小題滿分12分）
如圖所示，已知橢圓的方程為
，點
的坐標滿足
．過點的直線橢圓交于、兩點，點
為線段
的中點．求：
（1）點的軌跡方程；
（2）點的軌跡與坐標軸的交點的個數．
22．（本小題滿分12分）
已知數列
的前項和
（1）用、
表示
；
（2）數列
對任意正整數，均有
，求證：數列為等差數列；
（3）在（1）、（2）中，設
，求證：
．
1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．B 
11．C 12．D
【解析】
3．當
時，函數
在
上，
恒成立即
在上恒成立，可得
當
時，函數在上，恒成立
即
在上恒成立
可得
，對于任意
恒成立
所以
，綜上得
．
4．解法一：聯立
，得
．
方程總有解，需
恒成立
即
恒成立，得
恒成立
；又
的取值范圍為
．
解法二：數形結合，因為直線
恒過定點（0，1），要使直線與橢圓
總有交點當日僅當點（0，1）在橢圓上或橢圓內，即
又
的取值范圍為．
5．
7．展開式前三項的系數滿足
可解得
，或
（舍去）．從而可知有理項為
，故C正確．
8．
，欲使
為奇函數，須使
，觀察可知，
、
不符合要求，若
，則
，其在
上是減函數，故B正確
當
時，
，其在上是增函數，不符合要求．
9．
等價于
畫圖可知
，故
．
10．如圖乙所示．設
，點
到直線
的距離為
，則由拋物線定義得
，
又由點在橢圓上，及橢圓第一定義得
由橢圓第二定義得
，解之得
．
11．從52張牌中任意取13張牌的全部取法為
；缺少某一種花色的取法為
，缺少兩種花色的取法為
，缺少三種花色的取法為
，根據容斥原理可知四種花色齊全的取法為
．
12．設
中點為
，連
．由已知得
平面
，作
，交
的延長線于點
，連
．則
為所求，設
，則
，在
中可求出
，則
．
二、填空題
13．
．
提示：可以用換元法，原不等式為
也可以用數形結合法．
令
，在同一坐標系內分別畫出這兩個函數的圖象，由圖直觀得解集．
14．12
．提示：經判斷，
為截面團的直徑，再由巳知可求出球的半徑為
．
15．
．提示：由于
得
解得
，又
所以，當
時，
取得最小值．
16．①②④
三、解答題
17．懈：
，由正弦定理得，
又
，
，化簡得
為等邊三角形．
說明；本題是向量和三角相結合的題目，既考查了向量的基本知識，又考查了三角的有關知識，三角形的形狀既可由角確定。也可由邊確定，因此既可從角入手，把邊化為角；也可從邊入手，把角化為邊來判斷三角形的形狀．
18．解：（1）在第一次更換燈泡工作中，不需要更換燈泡的概率為
需要更換2只燈泡的概率為
．
（2）對該盞燈來說，在第1、2次都更換了燈泡的概率為
，在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為
，故所求的概率為
．
（3）當
時，
由（2）知第二次燈泡更換工作中，某盞燈更換的概率
故至少換4只燈泡的概率為
19．解：
]
因為函數在
處的切線斜率為
所以
即
①
又
得
②
（1）函數在
時有極值
③
解式①②③得
所以
．
（2）因為函數在區間
上單調遞增，所以導函數
在區間的值恒大于或等于零．
則
得
，所以實數
的取值范圍為
．
20．解：（1）連接
因為
平面
，平面
平面
所以
；又
為
的中點，故為
的中點
底面
為
與底面所成的角
在
中，
所以與底面所成的角為45°．
（2）解法一；如圖建立直角坐標系
則
， 
設
點的坐標為
故
點的坐標為
故
．
解法二：
平面
，又
平面
在正方形中，
．
21．解：（1）設點、
的坐標分別為
、
，點
的坐標為
當
時，設直線的斜率為
直線過點
的方程為
又已知
①
②
③
④
∴式①一式②得
⑤
③式+式④得
⑥
∴由式⑤、式⑥及
得點的坐標滿足方程
⑦
當
時，不存在，此時平行于
軸，因此的中點一定落在
軸上，即的坐標為
,顯然點（
，0）滿足方程⑦
綜上，點的坐標滿足方程
設方程⑦所表示的曲線為
則由
,
得
因為
，又已知
，
所以當
時．
，曲線與橢圓有且只有一個交點，
當
時，
，曲線與橢圓沒有交點，因為（0，0）在橢圓內，又在曲線上，所以曲線在橢圓內，故點的軌跡方程為
（2）由
解得曲線與軸交于點（0，0），（0，）
由
解得曲線與軸交于點（0，0）．（，0）
當
，即點為原點時，（，0）、（0，）與（0．0）重合，曲線與坐標軸只有一個交點（0，0）．
當
，且
，即點不在橢圓外且在除去原點的軸上時，曲線與坐標軸有兩個交點（0，）與（0，0），同理，當
且
時，曲線與坐標軸有兩個交點（，o）、（0，0）．
當，且時，即點不在橢圓且不在坐標軸上時，曲線與坐標軸有三個交點（，0）、（0，）與（0，0）．
22．（1）解：
，又
是以首項為
，公比為
的等比數列．
．
（2）證明：設數列
的公比為
，則條件等式可化為：
數列
為等差數列，
（3）證明：由題意知
①
式①
得
②
式①-式②得
．
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