題目列表(包括答案和解析)
+
=1總有交點，則m的取值范圍為（ ）
+
=1總有交點，則m的取值范圍為（ ）
+
=1總有交點，則m的取值范圍為| x2 |
| 2 |
| y2 |
| m |
| A、（1，2] |
| B、[1，2） |
| C、[1，2）∪[2，+∞） |
| D、（2，+∞） |
已知點
為圓
上的動點，且不在
軸上，
軸，垂足為
，線段
中點
的軌跡為曲線
，過定點
任作一條與
軸不垂直的直線
，它與曲線交于
、
兩點。
（I）求曲線的方程；
（II）試證明：在軸上存在定點
，使得
總能被軸平分
【解析】第一問中設
為曲線上的任意一點，則點
在圓
上，
∴
，曲線的方程為
第二問中，設點的坐標為
，直線的方程為
， ………………3分
代入曲線的方程
，可得 
∵
，∴
確定結論直線與曲線總有兩個公共點．
然后設點,的坐標分別
, 
，則
，
要使被軸平分，只要
得到。
（1）設為曲線上的任意一點，則點在圓上，
∴，曲線的方程為． ………………2分
（2）設點的坐標為，直線的方程為， ………………3分
代入曲線的方程，可得 ，……5分
∵，∴
，
∴直線與曲線總有兩個公共點．（也可根據點M在橢圓的內部得到此結論）
………………6分
設點,的坐標分別, ，則，
要使被軸平分，只要，
………………9分
即
，
， ………………10分
也就是
，
，
即
，即只要
………………12分
當
時，（＊）對任意的s都成立，從而總能被軸平分．
所以在x軸上存在定點
，使得
總能被
軸平分
1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．B 
11．C 12．D
【解析】
3．當
時，函數
在
上，
恒成立即
在上恒成立，可得
當
時，函數在上，恒成立
即
在上恒成立
可得
，對于任意
恒成立
所以
，綜上得
．
4．解法一：聯立
，得
．
方程總有解，需
恒成立
即
恒成立，得
恒成立
；又
的取值范圍為
．
解法二：數形結合，因為直線
恒過定點（0，1），要使直線與橢圓
總有交點當日僅當點（0，1）在橢圓上或橢圓內，即
又
的取值范圍為．
5．
7．展開式前三項的系數滿足
可解得
，或
（舍去）．從而可知有理項為
，故C正確．
8．
，欲使
為奇函數，須使
，觀察可知，
、
不符合要求，若
，則
，其在
上是減函數，故B正確
當
時，
，其在上是增函數，不符合要求．
9．
等價于
畫圖可知
，故
．
10．如圖乙所示．設
，點
到直線
的距離為
，則由拋物線定義得
，
又由點在橢圓上，及橢圓第一定義得
由橢圓第二定義得
，解之得
．
11．從52張牌中任意取13張牌的全部取法為
；缺少某一種花色的取法為
，缺少兩種花色的取法為
，缺少三種花色的取法為
，根據容斥原理可知四種花色齊全的取法為
．
12．設
中點為
，連
．由已知得
平面
，作
，交
的延長線于點
，連
．則
為所求，設
，則
，在
中可求出
，則
．
二、填空題
13．
．
提示：可以用換元法，原不等式為
也可以用數形結合法．
令
，在同一坐標系內分別畫出這兩個函數的圖象，由圖直觀得解集．
14．12
．提示：經判斷，
為截面團的直徑，再由巳知可求出球的半徑為
．
15．
．提示：由于
得
解得
，又
所以，當
時，
取得最小值．
16．①②④
三、解答題
17．懈：
，由正弦定理得，
又
，
，化簡得
為等邊三角形．
說明；本題是向量和三角相結合的題目，既考查了向量的基本知識，又考查了三角的有關知識，三角形的形狀既可由角確定。也可由邊確定，因此既可從角入手，把邊化為角；也可從邊入手，把角化為邊來判斷三角形的形狀．
18．解：（1）在第一次更換燈泡工作中，不需要更換燈泡的概率為
需要更換2只燈泡的概率為
．
（2）對該盞燈來說，在第1、2次都更換了燈泡的概率為
，在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為
，故所求的概率為
．
（3）當
時，
由（2）知第二次燈泡更換工作中，某盞燈更換的概率
故至少換4只燈泡的概率為
19．解：
]
因為函數在
處的切線斜率為
所以
即
①
又
得
②
（1）函數在
時有極值
③
解式①②③得
所以
．
（2）因為函數在區間
上單調遞增，所以導函數
在區間的值恒大于或等于零．
則
得
，所以實數
的取值范圍為
．
20．解：（1）連接
因為
平面
，平面
平面
所以
；又
為
的中點，故為
的中點
底面
為
與底面所成的角
在
中，
所以與底面所成的角為45°．
（2）解法一；如圖建立直角坐標系
則
， 
設
點的坐標為
故
點的坐標為
故
．
解法二：
平面
，又
平面
在正方形中，
．
21．解：（1）設點、
的坐標分別為
、
，點
的坐標為
當
時，設直線的斜率為
直線過點
的方程為
又已知
①
②
③
④
∴式①一式②得
⑤
③式+式④得
⑥
∴由式⑤、式⑥及
得點的坐標滿足方程
⑦
當
時，不存在，此時平行于
軸，因此的中點一定落在
軸上，即的坐標為
,顯然點（
，0）滿足方程⑦
綜上，點的坐標滿足方程
設方程⑦所表示的曲線為
則由
,
得
因為
，又已知
，
所以當
時．
，曲線與橢圓有且只有一個交點，
當
時，
，曲線與橢圓沒有交點，因為（0，0）在橢圓內，又在曲線上，所以曲線在橢圓內，故點的軌跡方程為
（2）由
解得曲線與軸交于點（0，0），（0，）
由
解得曲線與軸交于點（0，0）．（，0）
當
，即點為原點時，（，0）、（0，）與（0．0）重合，曲線與坐標軸只有一個交點（0，0）．
當
，且
，即點不在橢圓外且在除去原點的軸上時，曲線與坐標軸有兩個交點（0，）與（0，0），同理，當
且
時，曲線與坐標軸有兩個交點（，o）、（0，0）．
當，且時，即點不在橢圓且不在坐標軸上時，曲線與坐標軸有三個交點（，0）、（0，）與（0，0）．
22．（1）解：
，又
是以首項為
，公比為
的等比數列．
．
（2）證明：設數列
的公比為
，則條件等式可化為：
數列
為等差數列，
（3）證明：由題意知
①
式①
得
②
式①-式②得
．
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