海淀區2009屆高三年級第二學期期末練習
數學（理科） 2009.05
一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.
（1）已知集合
，集合
，則
等于 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）某行業主管部門所屬的企業有800家，按企業固定資產規模分為大型企業?中型企業?小型企業. 大?中?小型企業分別有80家，320家和400家，該行業主管部門要對所屬企業的第一季度生產狀況進行分層抽樣調查，共抽查100家企業. 其中大型企業中應抽查 （ ）
（A）
家
（B）
家
（C）
家 （D）
家
（3）若
，則 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）在
中，
所對的邊長分別為
，如果
，那么一定是（ ）
（A）銳角三角形 （B）鈍角三角形 （C）直角三角形 （D）等腰三角形
（5）若直線
與直線
關于點
對稱，則直線恒過定點
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）某班班會準備從甲、乙等7名學生中選派4名學生發言，要求甲、乙兩名同學至少有一人參加，且若甲乙同時參加，則他們發言時不能相鄰.那么不同的發言順序種數為 （ ）
（A）360 （B）520 （C）600 （D）720
（7）在棱長均為2的正四棱錐
中，點
為
的中點，則下列命題正確的是 （ ）
（A）
∥平面
，且到平面的距離為
（B）∥平面，且到平面的距離為
（C）與平面不平行，且與平面所成的角大于
（D）與平面不平行，且與平面所成的角小于
（8）已知點
是矩形
所在平面內任意一點，則下列結論中正確的是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.把答案填在題中橫線上.
（9）已知等比數列
中，
，
，那么
的值為
.
（10）已知函數
是連續函數，則實數
的值是
.
（11）已知
，則
的值等于______ _ .
（12）已知函數
的導函數
的部分圖象如圖所示，且導函數
有最小值
，則
，
.
（13）以雙曲線的一個頂點為圓心的圓經過該雙曲線的一個焦點，且與該雙曲線的一條準線相切，則該雙曲線的離心率為 .
（14）下圖展示了一個由區間(0,1)到實數集R的映射過程：區間
中的實數m對應數軸上的點M，如圖1；將線段
圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合，如圖2；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為，如圖3.圖3中直線
與x軸交于點
，則m的象就是n，記作
.
（?）方程
的解是
；
（?）下列說法中正確命題的序號是 .（填出所有正確命題的序號）
①
； ②
是奇函數；
③在定義域上單調遞增； ④的圖象關于點
對稱．
（15）（本小題共13分）
三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明, 演算步驟或證明過程.
已知數列
的前
項和為
，
, 
（
，
）.
且
，
，
成等差數列.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求數列的通項公式.
（16）（本小題共13分）
檢測部門決定對某市學校教室的空氣質量進行檢測，空氣質量分為A、B、C三級. 每間教室的檢測方式如下：分別在同一天的上、下午各進行一次檢測，若兩次檢測中有C級或兩次都是B級，則該教室的空氣質量不合格.
設各教室的空氣質量相互獨立，且每次檢測的結果也相互獨立. 根據多次抽檢結果，一間教室一次檢測空氣質量為A、B、C三級的頻率依次為
.
（Ⅰ）在該市的教室中任取一間，估計該間教室的空氣質量合格的概率；
（Ⅱ）如果對該市某中學的4間教室進行檢測，記在上午檢測空氣質量為A級的教室間數為
，并以空氣質量為A級的頻率作為空氣質量為A級的概率，求的分布列及期望.
（17）（本小題共14分）
如圖，斜三棱柱
的底面是直角三角形，
，點
在底面
上的射影恰好是
的中點，且
．
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）求證：
；
（Ⅲ）求二面角
的大小.
（18）（本小題共13分）
已知：函數
（其中常數
）.
（Ⅰ）求函數的定義域及單調區間；
（Ⅱ）若存在實數
，使得不等式
成立，求a的取值范圍．
（19）（本小題共13分）
已知拋物線C:
，過定點
，作直線
交拋物線于
（點
在第一象限）.
（Ⅰ）當點A是拋物線C的焦點，且弦長
時，求直線的方程；
（Ⅱ）設點
關于
軸的對稱點為，直線
交軸于點
，且
.求證：點B的坐標是
并求點到直線的距離
的取值范圍.
（20）（本小題共14分）
已知
定義域為
，滿足：
①
；
②對任意實數
，有
.
（Ⅰ）求
，
的值；
（Ⅱ）求
的值；
（Ⅲ）是否存在常數
，使得不等式
對一切實數成立.如果存在，求出常數的值；如果不存在，請說明理由.
海淀區高三年級第二學期期末練習
數學（理科）
一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）
ACDDB CDC
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分.有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）
（9）62 （10）2
（11）
（12）2，
（13）
（14）
，③④
三、解答題（本大題共6小題,共80分）
(15)（本小題共13分）
解：（Ⅰ）∵
（
），
∴
（）. ………………………………………1分
∵
，
，
成等差數列，
∴
. ………………………………………3分
∴
.
………………………………………5分
∴
.
………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
（）.
∴數列
為首項是
，公差為1的等差數列.
………………………………………8分
∴
.
∴
.
………………………………………10分
當
時，
.
………………………………………12分
當
時，上式也成立.
………………………………………13分
∴
（）.
（16）（本小題共13分）
解：（Ⅰ）該間教室兩次檢測中，空氣質量均為A級的概率為
.………………………………2分
該間教室兩次檢測中，空氣質量一次為A級，另一次為B級的概率為
.
…………………………………4分
設“該間教室的空氣質量合格”為事件E.則 …………………………………5分
.
…………………………………6分
答：估計該間教室的空氣質量合格的概率為
.
（Ⅱ）由題意可知，
的取值為0，1，2，3，4.
…………………………………7分
.
隨機變量的分布列為：
0
1
2
3
4
…………………………………12分
解法一：
∴
. …………………………………13分
解法二：
，
∴
.
…………………………………13分
（17）（本小題共14分）
（Ⅰ）證明：設
的中點為
.
在斜三棱柱
中，點
在底面
上的射影恰好是的中點,
平面ABC. ……………………1分
平面，
.
……………………2分
，
∴
.
，
∴
平面
. ……………………4分
平面
，
平面
平面.
………………………………………5分
解法一：（Ⅱ）連接
，平面，
是直線
在平面上的射影.
………………………………………5分
，
四邊形是菱形.
.
………………………………………7分
.
………………………………………9分
（Ⅲ）過點
作
交于點
，連接
.
，
平面
.
.
是二面角
的平面角.
………………………………………11分
設
，則
，
.
.
.
.
平面
，
平面，
.
.
在
中，可求
.
∵
，∴
.
∴
.
.
………………………………………13分
.
∴二面角的大小為
.
………………………………………14分
解法二：（Ⅱ）因為點在底面上的射影是的中點，設的中點為
，則
平面ABC.以為原點，過平行于
的直線為
軸，所在直線為
軸，
所在直線為
軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
設
，由題意可知，
.
設
，由
，得
………………………………………7分
.
又
.
.
.
………………………………………9分
（Ⅲ）設平面
的法向量為
.
則
∴
.
設平面
的法向量為
.則
∴
.
………………………………………12分
.
………………………………………13分
二面角的大小為.
………………………………………14分
（18）（本小題共13分）
解：（Ⅰ）函數
的定義域為
．
………………………………………1分
.
………………………………………3分
由
，解得
.
由
，解得
且
．
∴的單調遞增區間為
，單調遞減區間為
，
．
………………………………………6分
（Ⅱ）由題意可知，
，且
在
上的最小值小于等于時，存在實數
，使得不等式
成立．
………………………………………7分
若
即
時，
x
a+1
-
0
+
ㄋ
極小值
ㄊ
∴在上的最小值為
．
則
，得
．
………………………………………10分
若
即
時，在上單調遞減，則在上的最小值為
．
由
得
（舍）．
………………………………………12分
綜上所述，．
………………………………………13分
（19）（本小題共13分）
解：（Ⅰ）由拋物線C:
得拋物線的焦點坐標為
，設直線
的方程為：
，
.
………………………………………1分
由
得
.
所以
，
.因為
， …………………………………3分
所以
.
所以
.即
.
所以直線的方程為：
或
.
………………………………………5分
（Ⅱ）設
，
，則
.
由
得
.
因為
，所以
，
. ……………………………………7分
（?）設
，則
.
由題意知：
∥
，
.
即
.
顯然
………………………………………9分
（?）由題意知：
為等腰直角三角形，
，即
，即
.
. 
.
.，
.
………………………………………11分
.
即
的取值范圍是
.
………………………………………13分
（20）（本小題共14分）
解：（Ⅰ）取
，得
，即
.
因為
，所以
.
………………………………………1分
取
，得
.因為
，所以
.
取
，得
同步練習冊答案
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