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南昌市2008-2009學年度高三測試卷數學（3）

一、 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合，則是　　　　　（　）

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A．　　　　 B. 　　　　　 C. 　　　　　 D.

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2．（文）在數列{}中，若，且對任意的有，則數列前15項的和為（）

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A． B．30 C．5 D．

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(理) 若復數（，為虛數單位）是純虛數,則實數的值為 ( )

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A. B.13 C. D. -6

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3．若，則下列不等關系中不能成立的是（）

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A． B． C． D．

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4.設分別是的三個內角所對的邊，若的（　　）

　A.充分不必要條件； B.必要不充分條件； C.充要條件； D.既不充分也不必要條件；

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5.設，，是空間三條直線，，是空間兩個平面，則下列命題中，逆命題不成立的是( )

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A 當時，若，則∥

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B 當時，若，則

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　 C 當，且是在內的射影時，若，則

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　 D 當，且時，若，則

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6．設的展開式的各項系數之和為M，而二項式系數之和為N，且M－N=992。則展開式中x²項的系數為（）

A．150 B．－150 C．250 D．－250

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7．將A、B、C、D四個球放入編號為1，2，3的三個盒子中，每個盒子中至少放一個球且A、B兩個球不能放在同一盒子中，則不同的放法有（）

A．15 B．18 C．30 D．36

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8．（文）已知=（2cosα，2sinα）， =（3cosβ，3sinβ），與的夾角為60°，則直線

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xcosα－ysinα+=0與圓(x－cosβ)²+(y+sinβ)²=1的位置關系是（）

A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定

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(理)統計表明，某省某年的高考數學成績，現隨機抽查100名考生的數學試卷，則成績超過120分的人數的期望是（）

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（已知）

A. 9或10人 B. 6或7人 C. 3或4人 D. 1或2人

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9．

1,3,5

A．8　　　　 B．10　　　　 C．12　　　　 D．14

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10.已知,則當m+n取得最小值時，橢圓的離心率為（）

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A. B. C. D.

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11.關于函數有下列命題：

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①的最大值是；②是以為最小正周期的周期函數；

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③在區間上是減函數；

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④將函數的圖象向左平移個單位后，與已知函數的圖象重合．

其中正確命題的序號是（）

A．①②③ B．①② C．②③④ 　　D．①②③④

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12. 以正方體的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機地取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面的概率為（）

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A． B． C． D．

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二、 填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填寫在題中的橫線上。

13．.某路段檢查站監控錄象顯示，在某時段內，有

1000輛汽車通過該站，現在隨機抽取其中的200

輛汽車進行車速分析，分析的結果表示為如下的

頻率分布直方圖，則估計在這一時段內通過該站

的汽車中車速度不小于90km/h 的約有

輛（注：分析時車速均取整數）。

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14. (文)已知平面上三點A、B、C滿足1，則

的值等于 .

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（理）已知函數在R上連續，則 .

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15．設命題,命題,若命題是命題的必要不充分條件,則r的最大值為 .

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16．如圖，正方體，則下列四個命題：

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①在直線上運動時，三棱錐的體積不變；

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②在直線上運動時，直線AP與平面ACD₁所成角的大小不變；

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③在直線上運動時，二面角的大小不變；

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④M是平面上到點D和距離相等的點，則M點的軌跡是過點的直線

其中真命題的編號是（寫出所有真命題的編號）

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三、解答題：本大題共六道小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17．（本小題滿分12分）18.已知向量=（sinB，1－cosB)，且與向量 = （2，0）所成角為，其中A、B、C是△ABC的內角．

（Ⅰ）求角Ｂ的大小；

（Ⅱ）求sinA + sinC的取值范圍．

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18．（本小題滿分12分）(文科做)學校文娛隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有2人，會跳舞的有5人，現從中選2人．設為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數，且大于0的概率為.（Ⅰ）求文娛隊的人數；（Ⅱ）寫出的概率．

(理科做)某中學開展“創建文明城市知識競賽”活動，競賽題由20道選擇題構成，每道選擇題有4個選項，其中有且僅有1個選項是正確的，要求學生在規定時間內通過筆試完成，且每道題必須選出一個選項(不得多選或不選)，每道題選正確得6分。已知學生甲對任一道題選擇正確的概率為；學生乙由于未作準備，因此只能從每道題的4個選項中隨機地選擇1個.

(Ⅰ)若選錯得0分，比較甲得66分的概率與乙得54分的概率的大小；

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(Ⅱ)為防止個別學生像乙那樣隨機地作出選擇，學校決定對每道選擇錯誤的倒扣若干分，但倒扣太多對學生不公平，倒扣太少又達不到杜絕亂選的目的，倒扣的分數，應該恰到好處，使亂選一通的學生一無所獲，換句話說，如果學生每道題都隨機選擇，那么他20道題所得總分的數學期望應該是0.問:對每道題選擇錯誤應該倒扣多少分比較合適?

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19．（本小題滿分12分）正四面體A-BCD的棱長為1，（Ⅰ）如圖(1)M為CD中點，求異面直線AM與BC所成的角；（Ⅱ）將正四面體沿AB、BD、DC、BC剪開，作為正四棱錐的側面如圖(2)，求二面角M-AB-E的大小；（Ⅲ）若將圖(1)與圖(2)面ACD重合，問該幾何體是幾面體（不需要證明），并求這幾何體的體積。

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20．（本小題滿分12分）（文科）已知A、B、C是直線l上的三點，向量，，

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滿足：－(y＋3ax)＋(x³－1)＝0．

（Ⅰ）求函數y＝f(x)的單調區間；

（Ⅱ）當a＝1時，求證：直線4x＋y＋m＝0不可能是函數y＝f(x)圖象的切線．

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（理科）已知A、B、C是直線l上的三點，向量，，滿足：－[y＋2f ^/(1)]＋ln(x＋1)＝.（Ⅰ）求函數y＝f(x)的表達式；（Ⅱ）若x＞0，證明：f(x)＞；

（Ⅲ）若不等式x²≤f(x²)＋m²－2bm－3時，x∈[－1，1]及b∈[－1，1]都恒成立，求實數m的取值范圍．

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21．（本小題滿分12分）已知橢圓是拋物線的一條切線。

（I）求橢圓的方程；

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（Ⅱ）過點的動直線L交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過點T？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由。

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22． (本小題滿分14分）(文科做)已知曲線過上的點作曲線的切線交軸于點，再過作軸的平行線交曲線C于點，再過作曲線C的切線交軸于點，再過作軸的平行線交曲線C于點，…，依次作下去，記點的橫坐標為.

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（Ⅰ）求數列的通項公式；

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（Ⅱ）記，設數列的前項和為，求證：.

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( 理科做)定義在(0，＋∞)的函數f(x)＝，其中e＝2.71828……是自然對數的底數，a∈R.

(Ⅰ)若函數f(x)在點x＝1處連續，求a的值；

(Ⅱ)若函數f(x)為(0，1)上的單調函數，求實數a 的取值范圍，并判斷此時函數f(x)在

(0，＋∞)上是否為單調函數；

(Ⅲ)當x∈(0，1)時，記g(x)＝lnf(x)＋x²－ax，試證明：

對n∈N^*，當n≥2時，有－＜nk＝1－n.

試題詳情

一、選擇題：每小題5分，共60分．

BDCBB DCBCB AA

二、填空題：每小題４分，共16分．

13. 300 14.（文），（理）3。 ⒖ ⒗①③④.

三、解答題：

17．解：（Ⅰ）∵ =（sinB，1－cosB) , 且與向量=（2，0）所成角為

∴ ，∴ tan = ，又∵ 0<B<p Þ 0< < ，

∴ = ，∴ B = 。

（Ⅱ）由（1）可得A + C = ，

∴， 8分

∵，∴， 10分，∴，

，當且僅當。 12分

18.(文科))解：設既會唱歌又會跳舞的有x人，則文娛隊中共有（7-x）人，那么只會一項的人數是（7-2 x）人． (I)∵，∴．

即,∴．∴x=2．故文娛隊共有5人．(8分)

(II) .(12分)

(理科)解:(Ⅰ) 甲得66分(正確11題)的概率為,……2分

乙得54分(正確9題)的概率為,……4分

顯然，即甲得66分的概率與乙得54分的概率一樣大. ……6分

(Ⅱ)設答錯一題倒扣x分，則學生乙選對題的個數為隨機選擇20個題答對題的個數的期望為,得分為,

,令,得,

即每答錯一題應該倒扣2分 ……12分

19．解：（Ⅰ）取BD中點N.連AN、MN. 就是異面直線AM與BC所成的角，在中，（4分）

（Ⅱ）取BE中點P.連AP、PM,作于過作于連MH. ，，即AB 的平面角，在AMP中，

在ABP中，

二面角的大小，為（8分）

（Ⅲ）若將圖(1)與圖(2)面ACD重合，該幾何體是5面體

這斜三棱柱的體積=3V_A-BCD=3´´´= （12分）

20．（文科） (Ⅰ) 　∵－(y＋3ax)＋(x³－1)＝0，∴＝(y＋3ax)－(x³－1)

∴(y＋3ax)＋[－(x³－1)]＝1，即y＝f(x)＝x³－3ax………………………2分

∴f^/(x)＝3x²－3a＝3(x²－a)…………………………………………………4分

　　　　當a≤0時，f^/(x)＝3(x²－a)≥0對x∈R恒成立，f(x)的單調區間為(－∞，＋∞)

　　　　當a＞0時，f^/(x)＞0，x＜－或x＞

f^/(x)＜0得－＜x＜…………………………………………6分

　　　　此時，函數f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上是增函數，

在(－，)上是減函數……………………………………8分

　　　　(Ⅱ)∵a＝1，∴f^/(x)＝3x²－3，直線4x＋y＋m＝0的斜率為－4………………9分

　　　　　假設f^/(x)＝－4，即3x²＋1＝0無實根

　　　　∴直線4x＋y＋m＝0不可能是函數f(x)圖象的切線………………………………12分

（理科）(Ⅰ)∵－[y＋2f ^/(1)]＋ln(x＋1)＝0，∴＝[y＋2f ^/(1)]－ln(x＋1)

由于A、B、C三點共線　即[y＋2f ^/(1)]＋[－ln(x＋1)]＝1…………………2分

∴y＝f(x)＝ln(x＋1)＋1－2f ^/(1)

f ^/(x)＝，得f ^/(1)＝，故f(x)＝ln(x＋1)…………………………………4分

（Ⅱ）令g(x)＝f(x)－，由g^/(x)＝－＝

∵x＞0，∴g^/(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函數………………6分

　　　　　　故g(x)＞g(0)＝0

即f(x)＞………………………………………………………………8分

　　　（Ⅲ）原不等式等價于x²－f(x²)≤m²－2bm－3

　　　　令h(x)＝x²－f(x²)＝x²－ln(1＋x²)，由h^/(x)＝x－＝…………………10分

當x∈[－1，1]時，h(x)_max＝0，∴m²－2bm－3≥0

令Q(b)＝m²－2bm－3，則

得m≥3或m≤－3……………12分

21.解：（I）由

因直線相切，故所求橢圓方程為（II）當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：

當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：由

即兩圓相切于點（0，1）

因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）.事實上，點T（0，1）就是所求的點，證明如下。

當直線L垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）

若直線L不垂直于x軸，可設直線L：

由

記點、

∴TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）,故在坐標平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件.

22．(文科)解：（I）∵. ∴曲線在點處的切線l_n的斜率為.

∴切線l_n的方程為. （2分）

令得，∴.

依題意點在直線上，∴ 又. （4分）

∴數列是1為首項，為公比的等比數列. ∴. （5分）

（Ⅱ）由已知.

∴. ①

. ②

①―②得

. （9分）

∴ （10分）

又時，.

又當時，. ∴.∴當時，.

∴ ∴. （13分）綜上. （14分）

22．(理科)解： (Ⅰ)∵f(1)＝1，∴f(x)＝e^a^－1＝1 ∴a＝1 ……2分

(Ⅱ) x∈(0，1)時，f(x)＝xe，

f＇(x)＝e＋xe(－2x＋a)＝(－2x²＋ax＋1)e,……3分

f＇(x)≥0，

∵t（0）＝1∴－2x²＋ax＋1＞0在(0，1)恒成立Þ t (1) ≥0Þa ≥1……4分

∴當a≥1時，f(x)在(0，1)上是增函數； ……5分

又當a＝1時，f(x)在(0，＋∞)也是單調遞增的； ……6分

當a＞1時，∵＝e^a^－1＞1=f(1)，此時，f(x)在(0，＋∞)不一定是增函數.…… 7分

(Ⅲ)當x∈(0，1)時，g(x)＝lnf(x)＋x²－ax＝lnx，當n≥2時，

欲證：－＜nk＝1－n，

即證－1－2－3－……－(n－1)＜ln＜1＋＋＋……＋－n
即需證

－1－2－3－……－(n－1)＜ln1＋ln＋ln＋……＋ln＜1＋＋＋……＋－n
猜想1－＜lnt＜t－1(其中0＜t＜1).……8分

構造函數h(t)＝lnt－1＋(0＜t＜1)
∵h＇(t)＝－＝＜0，∴h(t)在(0，1)上時單調遞減的，

∴h(t)＞h（1）=0，即有lnt＞1－……10分

設s(t)＝lnt－t＋1(0＜t＜1)，

同理可證s(t)＜0，∴1－＜lnt＜t－1(0＜t＜1)成立 ……12分

分別取t＝，，……，(n≥2)，所得n－1個不等式相加即得：

－1－2－3－…－(n－1)＜ln1＋ln＋ln＋……＋ln＜1＋＋＋……＋－n

∴－＜nk＝1－n ……14分

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