河南省示范性高中羅山高中2009屆高三5月綜合測試
數學試題（理）
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1. 如果集合
，那么（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2. 實數x，y滿足
是xy的值是（ ）
A. 1 B.
3. 函數
的單調增區間為（
）
A. 
B.
C. 
D.
4. 函數
的反函數是（
）
A. 
B. 
C. 
D. 
5. 對于直線
和平面
，下列命題中，真命題是（ ）
A. 若∥
且∥
，則
∥
B. 若 
且
，則
C. 若，且
，則∥ D. 若，且∥，則∥
6. 直線
與圓
的位置關系是（ ）
A. 相離 B. 相切 C. 相交 D. 與k的取值有關
7. 正四棱錐P－ABCD的五個頂點在同一個球面上，若其底面邊長為4，側棱長為
，則此球的表面積為（ ）
A. 18
B. C.
72 D.
9
8. 等差數列
中，
是其前n項和，
，則
的值為（
）
A.
2 B. 1 C. 
D. 3
9. 從5名學生中選出4名學生參加百米、跳高、籃球比賽，每人只能參加一項，并且籃球有兩人參加，則不同的選派方式有（ ）
A. 40 B. 60 C. 100 D. 120
10. 在同一平面內，已知
，且
. 若
，則△
的面積等于（
）
A. 
B. C. 1 D. 2
11. 設斜率為
的直線
與橢圓
交
于不同的兩點，且這兩個交點在x軸上的射影恰好是
橢圓的兩個焦點，
則該橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. 
D. 
12. 如果關于x的方程
有且僅有一個正實數解，那么實數
的取值范圍為（ ）
A. 
B.
或
C. 
D.
若
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、非選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上.
13. 已知二項式
的展開式的第4項第5項之和為零，那么x等于 。
14.
設命題
： 
命題
，若命題
是
命題
的充分非必要條件，則r 的最大值為
.
15.
已知圓
，點A（2，0），動點M在圓上，則∠OMA的最大值為
。
16. 如圖所示，正△ABC的中線AF與中位線DE相交于點G，已知△A/ED是△
AED繞邊DE旋轉過程中的一個圖形，現給出下
列四個命題：
1動點A/在平面ABC上的射影在線段AF上；
2恒有平面A/GF⊥平面BCED；
3三棱錐A/-FED的體積有最大值；
4異面直線A/E與BD不可能垂直.
其中正確命題的序號是 .
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或推演步驟.
17. （本題滿分10分）已知函數
.
（1）若函數
的圖像關于直線
對稱，求的最小值；
（2）若存在
，使
成立，求實數m 的取值范圍.
18. （本題滿分12分）A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比實驗，每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效，若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組，設每只小白鼠服用A有效的概率為
，服用B有效的概率為.
（1）求一個試驗組為甲類組的概率；
（2）觀察3個試驗組，用
表示這3個試驗組
中甲類組的個數，求的分布列和數學期望.
19. （本題滿分12分）如圖1所示，在正三棱
柱ABC－A1B1C1中，BB1＝BC＝2，且M是BC的
中點，點N在CC1上.
（1）試確定點N的位置，使
AB1⊥MN；
（2）當AB1⊥MN時，求二面角
M－AB1－N的大小.
20. （本題滿分12分）若存在實常數k和b，使得函數
和
對其定義域上的任意實數x分別滿足：
和
，則稱直線
為 和的“隔離直線”，已知
（其中e為自然數的底數）.
（1）求
的極值；
（2）函數
和
是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由.
21. （本題滿分12分）如圖所示，已知橢圓
，經過橢圓C的右焦點F且斜率為
的直線
交橢圓C于A、B兩點，M為線段AB的中點，設O為橢圓的中心，射線OM交橢圓于N點.
（1）是否存在k，使對任意
，
總有
成立？若存在，求
出所有k的值；
（2）若
，求實
數k的取范圍.
22. （本題滿分12分）數列中，
，其前n 項的和為
.
（1）設
，求證：數列
是等差數列；
（2）求的表達式；
（3）求證：
.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
A
C
C
B
B
B
C
A
B
13. 2 14. 
15. 
16. ①②③
17.解：（1）
（3分）
由題設，
即
則當
時，
（5分）
（2）當
時，
（8分）
由
得
即
或
故m的取值范圍是
（10分）
18.解析：（1）設
表示事件“一個實驗組中，服用A有效的小白鼠有
只”， 
表示事件“一個實驗組中，服用B有效的小白鼠有只”
依題意有
所有的概率為
（6分）
（2）
的可能值為0，1，2，3且
.
的分布列為
0
1
2
3
P
數學期望 
（12分）
19.（1）連接
、
，過M作
，且
交
于點N.
在正
中
，又
平面
平面
，易證
平面
，
在
與
中，
易知
即
（6分）
（2）過點M作
垂足為E，連接EN,由（1）知平面
（三垂線定理），
即為二面角
的平面角，由
平面
，知
在
中，
又
故在
中，
故二面角的大小為
（12分）
20.解：（1）
（2分）
當
時，
當
時，
此時函數
遞減；
當
時，
此時函數遞增；
（5分）
當時，取極小值，其極小值為0.
（6分）
（2）由（1）可知函數
和
的圖像在處有公共點，
因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點.
設隔離直線的斜率為
則直線方程為
即
由
可得
當
時恒成立
由
得
（8分）
下面證明
當
時恒成立.
令
則
當時，
當時，
此時函數
遞增；
當時，
此時函數遞減；
當時，取極大值，其極大值為0.
（10分）
從而
即
恒成立.
函數和存在唯一的隔離直線
（12分）
21.（1）橢圓C：
（1分）
直線
（2分）
由
得
（3分）
設
則
則
（5分）
若存在K，使
M為AB的中點，M為ON的中點，
，
即N點坐標為
（6分）
由N點在橢圓，則
即
或
舍
故存在
使
（8分）
（2）
即
且
（12分）
22.解：（1）
又
（4分）
是首項為2，公差為1的等差數列.
（2）
（8分）
（3）
（12分）
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