2003年青島市中等學校招生考試
數學試題
第一卷
一、選擇題（本題共有8道小題，每小題3分，滿分24分）每小題的四個結論中只有一個是正確的）．
1. 方程
＝0 的根的情況是（ ）．
（A）有兩個相等的實數根 （B）有兩個不相等的實數根
（C）兩個實數根的和與積都等于1 （D）無實數根
2. 有三個點A、B、C，過其中每兩個點畫直線，可以畫出（ ）條直線．
（A）1 （B）3 （C）1或3 （D）無法確定
3. 函數
中自變量x的取值范圍是（
）．
（A）x≥5（B） x＞5（C）x≥－5 （D）x≤5
4. 在平面直角坐標系中，以點（2，1）為圓心，1為半徑的圓，必與（ ）．
（A）x軸相交 （B）y軸相交 （C）x軸相切 （D）y軸相切
5. 若菱形的邊長為1cm，其中一內角為60°，則它的面積為（ ）．
（A） 
（B） 
（C） 
（D） 
6. 一列火車從青島站出發，加速行駛一段時間后開始勻速行駛．過了一段時間，火車到達下一個車站．乘客上下車后，火車又加速，一段時間后再次開始勻速行駛．下面（ ）圖可以近似地刻畫出火車在這段時間內的速度變化情況．
（A）（B）（C）（D）
7. “圓材埋壁”是我國古代著名數學著作《九章算術》中的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，間徑幾何？”用數學語言可表述為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長為 （ ）
（A） 12．5寸 （B）13寸
（C） 25寸 （D）26寸
8. 已知
，
，且α≠β，則
的值為（ ）．
（A）2 （B）一2 （C）一1 （D）0
第二卷
二、填空題（本題共有8道小題，每小題3分，滿分24分）
9. 九年義務教育三年制初級中學教科書《代數》第三冊第52頁的例2是這樣的：“解方程
”．這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：設
＝y，那么
＝
，于是原方程可變為
……①，解這個方程得：y1＝1，y2＝5．當y＝1時，＝1，∴ x＝土1；當 y＝5時，＝5，∴ x＝土
。所以原方程有四個根：x1＝1，x2＝－1，x3＝，x4＝－。
⑴ 在由原方程得到方程①的過程中，利用 法達到降次的目的，體現了轉化的數學思想．
⑵ 解方程
時，若設y＝
，則原方程可化為
．
10. 如圖，A、B兩點被池塘隔開，在 AB外選一點 C，連結 AC和 BC，并分別找出它們的中點 M、N．若測得MN＝15m，則A、B兩點的距離為 ．
11. 當a＜l且a≠0時，化簡
＝
．
12. 如圖，點O是∠EPF的平分線上一點，⊙O和∠EPF的兩邊分別交于點A、B和C、D，根據上述條件，可以推出 ．（要求：填寫一個你認為正確的結論即可，不再標注其他字母，不寫推理過程）
13. 某林業部門為對轄區內面積為1200公頃的山林進行林業資源調查，工作人員在山林中挑選了一塊面積為1畝的樣本地，經實地清點，該樣本地的樹木數量為196棵，估計該山林的樹木總量約為 棵（用科學記數法表示；1公頃＝15畝）．
14. 如圖，△ABC內接于圓⊙O，CT切⊙O于C，∠ABC＝100°，∠BCT＝40°，則∠AOB＝ ．
15. 我市一科技園區2002年全年高新技術產品出口額達到35億美元，而2003年l－6月份，該科技園區的高新技術產品出口額達18億美元，比去年同期增長了20％，按這個增長勢頭，預計2003年7－12月份的出日額將比去年同期增長25％，那么該科技園區2003年全年的高新技術產品出口額預計為 億美元。
16. 探究數字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天體，它體積小，密度大，吸引力強，任何物體到了它那里都別想再“爬”出來．無獨有偶，數字中也有類似的“黑洞”，滿足某種條件的所有數，通過一種運算，都能被它“吸”進去，無一能逃脫它的魔掌．譬如：任意找一個3的倍數的數，先把這個數的每一個數位上的數字都立方，再相加，得到一個新數，然后把這個新數的每一個數位上的數字再立方、求和，…，重復運算下去，就能得到一個固定的數T＝
，我們稱它為數字“黑洞”．
T為何具有如此魔力？通過認真的觀察、分析，你一定能發現它的奧秘！
三、作圖題（本題滿分 4分）用圓規、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
17. 某汽車探險隊要從A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流L邊為汽車加水，汽車在河邊哪一點加水，才能使行駛的總路程最短？請你在圖上畫出這一點．
四、解答題（本題共有 9道小題，滿分 68分）
18. （6分）解方程組：
19. （6分）在世界環境日到來之際，希望中學開展了“環境與人類生存”主題研討活動，活動之一是對我們的生存環境進行社會調查，并對學生的調查報告進行評比．初三?3班將本班50篇學生調查報告得分進行整理（成績均為整數），列出了頻率分布表，并畫出了頻率分布直方圖（部分）如下：
根據以上信息回答下列問題：
⑴ 該班90分以上（含90分）的調查報告共有
篇。
⑵ 該班被評為優秀等級（80分及80分以上）的調查報告占
％；
⑶ 補全頻率分布直方圖．
20.（6分）人民海關緝私巡邏艇在東海海域執行巡邏任務時，發現在其所處位置O點的正北方向10海里處的A點有一涉嫌走私船只，正以24海里／小時的速度向正東方向航行．為迅速實施檢查，巡邏艇調整好航向，以26海里／小時的速度追趕，在涉嫌船只不改變航向和航速的前提下，問⑴需要幾小時才能追上？（點B為追上時的位置）⑵確定巡邏艇的追趕方向（精確到0．1°）．
參考數據：
sin66．8°≈ 0．9191 cos
66．8°≈ 0．393
sin67．4°≈ 0．9231 cos
67．4°≈ 0．3846
sin68．4°≈ 0．9298 cos
68．4°≈ 0．368l
sin70．6°≈ 0．9432 cos70．6°≈ 0．3322
21. （6分）在爭創全國衛生城市的活動中，我市一“青年突擊隊”決定義務清運一堆重達100噸的垃圾．開工后，附近居民主動參加到義務勞動中，使清運垃圾的速度比原計劃提高了一倍，結果提前4小時完成任務，問“青年突擊隊”原計劃每小時清運多少噸垃圾？
22. （8分）如圖，在矩形 ABCD中，F是BC邊上一點，AF的延長線交DC的延長線于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC．根據上述條件，請在圖中找出一對全等三角形，并證明你的結論．
23. （8分）某校餐廳計劃購買12張餐桌和一批餐椅，現從甲、乙兩商場了解到：同一型號的餐桌報價每張均為200元，餐椅報價每把均為50元．中商場稱：每購買一張餐桌贈送一把餐椅；乙商場規定：所有餐桌椅均按報價的八五折銷售．那么，什么情況下到甲商場購買更優惠？
24.（8分）在抗擊“非典”的斗爭中，某市根據疫情的發展狀況，決定全市中、小學放假兩周，以切實保障廣大中、小學生的安全．騰飛中學初三（1）班的全體同學在自主完成學習任務的同時，不忘關心同學們的安危，兩周內全班每兩個同學都通過一次電話，互相勉勵，共同提高．如果該班有56名同學，那么同學們之間共通了多少次電話？
為解決該問題，我們可把該班人數n與通電話次數s間的關系用下列模型來表示：
⑴ 若把n作為點的橫坐標，s作為縱坐標，根據上述模型中的數據，在給出的平面直角坐標系中，描出相應各點，并用平滑的曲線連接起來；
⑵ 根據日中各點的排列規律，猜一猜上述各點會不會在某一函數的圖像上？如果在，求出該函數的解析式；
⑶根據⑵中得出的函數關系式，求該班56名同學間共通了多少次電話．
25. （10分）已知：如圖，⊙O與⊙P相交于A、B兩點，點 P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于點A，CP及其延長線交⊙P于D、E，過點 E作EF⊥CE交CB的延長線于F．
⑴ 求證：BC是⊙P的切線；
⑵ 若CD＝2，CB＝
，求EF的長；
⑶ 若設k＝PE：CE，是否存在實數k，使△PBD恰好是等邊三角形？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
26. （10分）已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝3cm，∠C＝60°，BD⊥CD．
⑴ 求BC、
AD的長度；
⑵ 若點P從點B開始沿BC邊向點C以2cm／秒的速度運動，點Q從點C開始沿CD邊向點D以1cm／秒的速度運動，當 P、Q分別從B、C同時出發時，寫出五邊形ABPQD的面積S與運動時間t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍（不包含點P在B、C兩點的情況）；
⑶ 在⑵的前提下，是否存在某一時刻t，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1∶5？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
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