海淀區高三年級第一學期期中練習
數 學（文科） 2008.11
學校 班級 姓名
題號
一
二
三
總分
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
分數
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
(2)函數f (x)=x2－1(x＞0)的反函數是
( )
(A)f －1(x)=
(x＞－1) (B)f －1(x)=(x＞0)
(C)f －1 (x)=－(x＞－1) (D)f －1 (x)=－(x＞0)
(3)已知a∈R，則“|a|＞
(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
(4)從6名男生和2名女生中選出3名志愿者，其中至少有1名女生的選法共有 ( )
(A)30種 (B)36種 (C)42種 (D)60種
(5)下列函數中既是奇函數，又在[－1，1]上是增函數的是 ( )
(A)y=2x (B)y=－
(C)y=－sinx (D)y=x3+2x
(6)函數f (x)=2|x-1|的圖象是
( )
(A)
(B) (C)
(D)
(7)已知數列{an}的前n項的和Sn=an－1(a是不為0的實數)，那么{an} ( )
(A)一定是等差數列
(B)一定是等比數列
(C)或者是等差數列，或者是等比數列
(D)既不可能是等差數列，也不可能是等比數列
(8)定義在R上的函數f (x)，如果存在函數g (x)=kx+b(k，b為常數)，使得f (x)≥g (x)對一切實數x都成立，則稱g (x)為函數f (x)的一個承托函數.現有如下命題：
①對給定的函數f (x)，其承托函數可能不存在，也可能有無數個；
②g(x)=2x為函數f (x)=2x的一個承托函數；
③定義域和值域都是R的函數f (x)不存在承托函數.
其中正確命題的序號是 ( )
(A)① (B)② (C)①③ (D)②③
(9)已知1，x，9成等比數列，則實數x等于 .
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，把答案填在題中橫線上.
(10)(x2+)5的展開式中x4的系數是 . (用數字作答)
(11)函數f (x)=
+log2(2x－1)的定義域是
.
(12)已知等差數列{an}中，Sn表示其前n項和，且S1=1，S19=95，則a19=
，
S10= .
(13)為了了解某地區高三學生的身體發育 情況，抽查了該地區100名年齡為 17.5歲至18歲的男生的體重情況，并 將統計結果畫成頻率分布直方圖(如 圖)，則此100名男生中體重在 [58.5，64.5)kg的共有 人.
(14)已知關于x的不等式x2－ax+2＞0，若此不等式對于任意的x∈R恒成立，則實數a的取值范圍是 ；若此不等式對于任意的x∈(2，3]恒成立，則實數a的取值范圍是
.
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
(15)(本小題共12分)
已知全集U=R，不等式
＜0的解集為A，不等式|x－2|＜l的解集為B.
(Ⅰ)求A，B；
(Ⅱ)求(
UA)∩B.
(16)(本小題共13分)
已知函數f (x)=x3+ax2+2，且f (x)的導函數f ′ (x)的圖象關于直線x=1對稱.
(Ⅰ)求導函數f ′ (x)及實數a的值；
(Ⅱ)求函數y=f
(x)在[－1，2]上的最大值和最小值.
(17)(本小題共14分)
現有24名學生(學號依次為1號到24號)，參加一次扎染藝術活動，每人染一件形狀大小都相同的布藝作品.要求：學號是6的倍數的同學領藍色染料，學號為8的倍數的 同學領黃色染料，其余同學只能領紅色染料，其中能同時領到藍色和黃色染料的同學，必須把這兩種染料混合成綠色染料進行扎染.
(Ⅰ)求任取一件作品顏色為綠色的概率；
(Ⅱ)求任取一件作品顏色為紅色的概率；
(Ⅲ)任取一件作品記下顏色后放回，求連續取三次至少有兩次取出的作品顏色為紅色的
概率.
(18)(本小題共13分)
數列{an}[滿足a1=－1，且an=3an－１－2n+3(n=2，3，…).
(Ⅰ)求a2，a3，并證明數列{an－n}是等比數列；
(Ⅱ)求a1+a2+a3+…+an的值.
(19)(本小題共14分)
已知函數f (x)=x3+bx2+cx+5，且曲線y=f
(x)在點(0，f (0))處的切線與x軸平行.
(Ⅰ)求實數c的值；
(Ⅱ)判斷是否存在實數b，使得方程f (x)－b2x=0恰有一個實數根.若存在，求b的取值范圍；若不存在，請說明理由.
(20)(本小題共14分)
設f (x)是定義在D上的函數，若對D中的任意兩個實數x1，x2(x1≠x2)，恒有
f (
x1+
x2)＜f (x1)+f (x2)，則稱f (x)為定義在D上的T函數.
(Ⅰ)試判斷函數f (x)=x2是否為其定義域上的T函數，并說明理由；
(Ⅱ)若函數f (x)是R上的奇函數，試證明f (x)不是R上的T函數；
(Ⅲ)若對任何實數α∈(0,1)以及D中的任意兩個實數x1，x2，恒有
f (αx1+(1－α)x2)≤αf (x1)+(1－α)f (x2)，則f (x)為定義在Ｄ上的Ｃ函數.已知f (x)是R上的Ｃ函數，m是給定的正整數，設an=f(n)(n=0，1，2，…，m)，且a0=0,am=
海淀區高三年級第一學期期中練習
數 學（文科） 2008.11
一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)
題號
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
B
A
C
B
D
B
C
A
二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分.第一個空3分，第二個空2分)
(9)±3(丟一個不給分) (10)10 (11)
(12)9，30 (13)34 (14)(－2
，2)，(－∞，3]
三、解答題(本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
(15)(本小題滿分12分)
解：(Ⅰ)由
＜0.
得－2＜x＜2.
∴A＝{x|－2＜x＜2}.……………………………………………………………3分
由|x－2|＜1.
得1＜x＜3.
∴B={x|l＜x＜3}.…………………………………………………………………6分
(Ⅱ)∵A＝{x|－2＜x＜2}，U＝R，
∴
UA＝{x|x≤－2或x≥2}.……………………………………………………9分
∴(U A)∩B＝{x|2≤x＜3}.……………………………………………………12分
(16)(本小題滿分13分)
解：(Ⅰ)由f (x)＝x3+ax2+2得
f ′ (x)=3x2+2ax.………………………………………………………………………………3分
∵f ′ (x)圖象關于直線x=l對稱，
∴－
＝1.
∴a＝－3.……………………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x)＝x3－3x2+2，f ′ (x)＝3x2－6x.
令f ′ (x)＝0得x1＝0，x2＝2.……………………………………………………………8分
當x在[－1，2]上變化時，f ′ (x)，f (x)的變化情況如下表
x
－1
(－1，0)
0
(０，2)
2
f ′ (x)
＋
0
－
0
f (x)
－2
ㄊ
2
ㄋ
－2
……………………………………………………………………………………………12分
由上表可知，當x＝－1或2時，函數有最小值－2，當x=0時，函數有最大值2.
……………………………………………………………………………………………13分
(17)(本小題滿分14分)
解：(Ⅰ)設任取一件作品顏色為綠色的事件為A. ………………………………………1分
P(A)＝
.…………………………………………………………………………………
4分
答：任取一件作品顏色為綠色的概率為.
(Ⅱ)設任取一件作品顏色為紅色的事件為B ……………………………………………5分
P(B)=1－
…………………………………………………………………………
7分
＝l－
＝
.……………………………………………………………………………… 8分
答：任取一件作品顏色為紅色的概率為.
(Ⅲ)設任取一件作品記下顏色后放回，連續取三次至少有兩件作品為紅色的
事件為C.……………………………………………………………………………………9分
P(C)＝
()2()+
()3()0………………………………13分(其中兩個算式各2分)
＝
.…………………………………………………………………………………14分
答：任取一件作品記下顏色后放回，連續取三次至少有兩件作品為紅色的概率為.
(18)(本小題滿分13分)
解：(Ⅰ)∵a1=－1，且an=3an－l－2n+3，(n=2，3，…)
∴a2=3al－4+3=－4，…………………………………………………………… 2分
a3=
當n≥2時，有
an－n=3an－1－2n+3－n＝3(an－1－n＋1) …………………………………………6分
且a1－1=－2≠0，…………………………………………………………………7分
所以數列{an－n}(n＝1，2，…)是一個以－2為首項，3為公比的等比數列……
……………………………………………………………………………………8分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得an－n＝－2?3n－１，
∴an＝n－2?3n－1……………………………………………………………………9分
∴a1+a2+a3+…+an＝(1－2×1)＋(2－2×3)＋(3－2×32)＋…＋(n－2×3n－1)
＝(1＋2＋3＋…＋n)－(2×1+2×3+2×32+…+2×3n－1) ………………………11分
＝
.……………………………………………13分
(19)(本小題滿分14分)
解：(Ⅰ)∵曲線y=f (x)在點(0，f (0))處的切線與x軸平行，
∴f (0)＝0. ………………………………………………………………………………2分
又f ′ (x)=3x2+2bx+c，則f ′ (0)＝c＝0.…………………………………………………4分
(Ⅱ)由c＝0，方程f (x)－b2x＝0可化為x3+bx2－b2x+5＝0，
假設存在實數b使得此方程恰有一個實數根，
令g (x)＝x3+bx2－b2x＋5，則g (x)極大值＜0或g (x)極小值＞0.
∴g′ (x)=3x2+2bx－b2＝(3x－b)(x＋b).
令g′ (x)＝0，得x1＝
，x2＝－b.……………………………………………………5分
①若b＝0，則方程f (x)－b2x＝0可化為x3＋5＝0，此方程恰有一個實根
x＝－
.………………………………………………………………………………6分
②若b＞0，則＞－b，列表：
x
(?∞，?b)
－b
(－b，)
(，＋∞)
g′ (x)
＋
０
－
０
＋
g (x)
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
∴g (x)極大值＝g(－b)＝b3+5＞0，g (x)極小值＝g ()＝－
＋5.
∴－＋5＞0，解之得0＜b＜3. ……………………………………………………9分
③若b＜0，則＜－b，列表：
x
(?∞，)
(，－b)
－b
(－b，＋∞)
g′ (x)
＋
０
－
０
＋
g (x)
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
∴g (x)極大值＝g ()＝－＋5＞0，g (x)極小值＝g(－b)＝b3+5.
∴b3+5＞0，解之得b＞－.
∴－＜b＜0.
…………………………………………………………………………12分
綜合①②③可得，實數b的取疽范圍是(－，3).…………………………………14分
(20)(本小題滿分14分)
解：(Ⅰ)f (x)＝x2是其定義域上的T函數，………………………………………………2分
證明如下：
對任意實數x1，x2(x1≠x2)，
有f (
x1＋
x2)－f (x1)－f(x2)
＝(x1＋x2)2－
－
＝－
(x1－x2)2＜0.
即f (x1＋x2)＜f (x1)＋f (x2).
∴f(x)＝x2是其定義域上的T函數.……………………………………………………4分
(Ⅱ)假設f (x)是R上的T函數，取x1＝1，x2＝－1，
則有f (×1+×(－1))＜f (1)＋f (－1).
∵f (x)是奇函數，
∴f (－1)＝－f (1)，f (?)＝－f().
∴f()＞f (1).(#)
同理，取x1＝－1，x2＝1，可證f ()＜f (1).
與(#)式矛盾.
∴f (x)不是R上的T函數.……………………………………………………………9分
(Ⅲ)對任意0≤n≤m，取x1=m，x2=0，α＝
∈[0，1].
∵f (x)是R上的C函數，an＝f (n)，且a0=0，am=
∴an=f (n)=f (αx1+(1－α)x2)≤αf (x1)+(1－α)f
(x2)=×
那么Sf=a1+a2+…+am≤(2×(1+2+…+m)=m2+m.
可證f (x)＝2x是C函數，且使得an＝2n (n＝0，l，2，…，m)都成立，
此時Sf=m2+m.
綜上所述，Sf的最大值為m2+m.………………………………………………………14分
說明：其他正確解法按相應步驟給分.
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