東城區2008―2009學年度第一學期期末教學目標檢測
高三數學（文科）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至9頁，共150分。考試時間120分鐘。考試結束，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷（選擇題 共40分）
注意事項：
1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目涂寫在答題卡上。
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。不能答在試卷上。
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
1．已知集合A＝{x∈Z 
x－3|＜2}，B＝{0，1，2}，則集合A∩B為
（ ）
A．{2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{ 0，1，2，3}
2．已知a＝（3，4），b＝（－6，－8），則向量a與b （ ）
A．互相平行 B．夾角為60° C．夾角為30° D．互相垂直
3．a＞b是a＞
的 （ ）
A.充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．已知
∈
，sina＝
，則tan
的值為 （ ）
A．
B． D．-7
5．若f（x）是偶函數，且當x∈［0，＋∞）時，f（x）＝x－1，則不等式f（x－1）＜0的解集是
（ ）
A．{x｜－1＜x＜0} B．{x｜x＜0或1 ＜x＜2}
C．{ x｜0＜x＜2} D．{ x｜1＜x＜2}
6．在
的展開式中，常數項為15，則n的一個值可以是 （ ）
A．3 B．
7．把一顆六個面分別標有1，2，3，4，5，6的正方體形的骰子投擲兩次，觀察其出現的點數，并記第一次出現的點數為m，第二次出現的點數為n，設向量p=（m，n），向量q=（－2，1），則滿足p
q的向量p的個數是 （ ）
A．6 B．
8．已知垂直豎在水平地面上相距
A．橢圓 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線
第Ⅱ卷（選擇題 共110分）
注意事項：
1.用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。
2.答卷前將密封線內的項目填寫清楚。
題號
一
二
三
總分
1-8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
分數
得分
評卷人
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。
9．拋物線y2＝4x的準線方程為 ．
10．已知{an}為等差數列，若a1－a8＋a15＝20，則a3＋a13的值為 ．
11．在平面直角坐標系中，不等式組
，表示的平面區域的面積是 ．
12．一個球的球心到過球面上A、B、C三點的截面的距離等于球半徑的一半，若AB＝BC＝CA＝3，則球的半徑是 ，球的體積為 ．
13．已知向量
＝（2，2），
＝（
cos，sin），則
的取值范圍是 ．
14．已知函數f（x）＝x2－
，若f（－m2－1）＜f（2），則實數m的取值范圍是 ．
得分
評卷人
三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15．（本小題滿分13分）
已知函數f（x）＝cos2x－sin2x＋2
sinxcos＋1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調減區間；
（Ⅱ）若x∈
，求f（x）的最大值和最小值．
得分
評卷人
16．（本小題滿分13分）
北京的高考數學試卷共有8道選擇題，每個選擇題都給了4個選項（其中有且僅有一個是正確的）．評分標準規定：每題只選1項，答對得5分，不答或答錯得0分．某考生每道題都給出了答案，已確定有4道題的答案是正確的，而其余的題中，有兩道題每題都可判斷其兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷其一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜．對于這8道選擇題，試求：
（Ⅰ）該考生得分為40分的概率；
（Ⅱ）通過計算說明，該考生得多少分的可能性最大？
得分
評卷人
17．（本小題滿分14分）
如圖，在直三棱柱ABC－A1B
（Ⅰ）求證：ACBC1；
（Ⅱ）求證：AC1∥平面CDB1；
（Ⅲ）求二面角C1－AB－C的大小；
得分
評卷人
18．（本小題滿分13分）
設函數f（x）＝－x（x－m）2．
（Ⅰ）當m＝1時，求曲線y＝f（x）在點（2，f（2））處的切線的方程；
（Ⅱ）當m＜0時，求函數f（x）的單調增區間和極小值．
得分
評卷人
19．（本小題滿分13分）
已知點A（1，1）是橢圓
1（a＞b＞0）上的一點，F1、F2是橢圓的兩個焦點，且滿足
＝4．
（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；
（Ⅱ）設點C、D是橢圓上的兩點，直線AC、AD的傾斜角互補，試判斷直線CD的斜率是否為定值？并說明理由．
得分
評卷人
20．（本小題滿分14分）
已知點P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n∈N*）都在函數y＝
的圖象上．
（Ⅰ）若數列{bn}是等差數列，求證數列{an}為等比數列；
（Ⅱ）若數列{an}的前n項和為Sn＝1－2－n，過點 Pn，Pn＋1的直線與兩坐標軸所圍成三角形面積為cn，求使cn≤t對n∈N*恒成立的實數t的取值范圍．
東城區2008―2009學年度第一學期期末教學目標檢測
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1．A 2．A 3．B 4．A 5．C 6．D 7．D 8．B
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
9．x＝－1 10．40 11．4 12．2，
13．
14．－1＜m＜1
注：兩個空的填空題第一個空填對得2分，第二個空填對得3分.
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
15．（本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：f（x）＝cos2x－sin2x＋2
sinxcosx＋1＝sin2x＋cos2x＋1
＝2sin
＋1. ……………………………………………4分
因此f（x）的最小正周期為
，由
＋2k≤2 x＋
≤
＋2 k，k∈Z得
＋k≤x≤
＋k，k∈Z．
故f（x）的單調遞減區間為
， k∈Z．……………8分
（Ⅱ）當x∈
時，2x＋∈
，
則f（x）的最大值為3，最小值為0．………………………………………13分
16．（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）要得40分，8道選擇題必須全做對，在其余四道題中，有兩道題答對的概率為
，有一道題答對的概率為
，還有一道題答對的概率為
，所以得40分的概率為
P＝×××＝
． ………………………………………………6分
（Ⅱ）依題意，該考生得分的集合是{20，25，30，35，40}，得分為20表示只做對了四道題，其余各題都做錯，所求概率為
P1＝××
×
＝
；
同樣可求得得分為25分的概率為
P2＝
××××＋×××＋×××＝
；
得分為30分的概率為P3＝；
得分為35分的概率為P4＝
；
得分為40分的概率為P5＝．……………………………………………12分
所以得分為25分或30分的可能性最大． …………………………………13分
17．（本小題滿分14分）
解法一：
（Ⅰ）在直三棱柱ABC－A1B
底面
ABC，BC1在底面上的射影為CB．
由AC＝3，BC＝4，AB＝5，可得ACCB．
所以ACBC1． ……………………………4分
（Ⅱ）設BC1與CB1交于點O，
則O為BC1中點．連結OD．
在△ABC1中，D，O分別為AB，
BC1的中點，故OD為△ABC1的中位線，
∴OD∥AC1，又AC1中平面CDB1，
OD
平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1． ………………………9分
（Ⅲ）過C作CEAB于E，連結C1E．
由CC1底面ABC可得C1EAB．
故∠CEC1為二面角C1－AB－C的平面角．
在△ABC中，CE＝
，
在Rt△CC1E中，tan C1EC＝
＝
，
∴二面角C1－AB－C的大小為arctan．………………………………… 9分
解法二：
∵直三棱柱ABC－A1B
∴AC，BC，CC1兩兩垂直．如圖以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C－xyz，則C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．
（Ⅰ）∵
＝（－3，0，0），
＝（0，－4，4），
∴?＝0，故AC BC1.
…………………………………………4分
（Ⅱ）同解法一 …………………………………………………………………9分
（Ⅲ）平面ABC的一個法向量為m＝（0，0，1），
設平面C1AB的一個法向量為n＝（x0，y0，z0），
＝（－3，0，4），
＝（－3，4，0）．
由
得
令x0＝4，則z0＝3，y0＝3．
則n＝（4，3，3）．故cos＞m，n＞＝
＝
．
所求二面角的大小為arccos. ……………………………………14分
18.（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）當m＝1時，f（x）＝?x（x?1）2＝?x3＋2x3－x，得f（2）＝－2由
f′（x）＝?3x3＋4x?1，得f′（2）2＝?5. ……………………4分
所以，曲線y＝?x（x?1）2在點（2，?2）處的切線方程是y＋2＝?5（x?2），整理得5x＋y?8＝0. …………………………………………6分
（Ⅱ）f（x）＝?x（x?m）2＝?x3＋2mx2?m2x，
f ′（x）＝?3 x 2＋
令f ′（x）＝0解得x＝
或x＝m. ……………………………………10分
由于m＜0，當x變化時，f ′（x）的取值情況如下表：
x
（－∞，m）
m
f ′（x）
―
0
＋
0
―
因此函數f（x）的單調增區間是，且函數f（x）在x＝m處取得 極小值f（m）＝0. ………………………………………………………13分
19.（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由橢圓定義知
＋
＝1,將（1，1）代入得
b2＝
．故橢圓方程為＋
＝1．…………………………………4分
因此c2＝4－＝
，離心率e＝
． ………………………………6分
（Ⅱ）設C（xC，yC），D（xD，yD），由題意知，AC的傾斜角不為90°，
故設AC的方程為y＝k（x－1）＋1，聯立
消去y得（1＋3k2）x
2－6k（k－1）x＋3k2－6k－1＝0
……………………………………………………………………………8分
由點A（1，1）在橢圓上，可知xC＝
．
因為直線AC，AD的傾斜角互補，
故AD的方程為y＝－k（x－1）＋1，同理可得xD ＝
．
所以xC－xD＝
．
又yC＝k （xC－1）＋1，yD＝－k （xD－1）＋1，yC－yD＝k （xC＋xD）－2k＝
，
所以kCD＝
＝，即直線CD的斜率為定值．……………13分
20．（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）因為數列{bn}是等差數列，故設公差為d，
則bn＋1－bn＝d對n∈N*恒成立．依題意bn＝
an，an＝
．
由an＞0，
所以
＝
＝
是定值，從而數列{an}是等比數列.…5分
（Ⅱ）當n＝1時，a1＝S1＝，當n≥2時，an＝Sn－Sn-1＝
，當n＝1時也適合此式，即數列{an}的通項公式是an ．……………………… 7分
由bn＝an，數列{bn}的通項公式是bn＝n．…………………………8分
所以Pn
，Pn＋1
，過這兩點的直線方程是y－n＝－2n＋1
，該直線與坐標軸的交點是An
和Bn（0，n＋2）．
cn＝
×
＝
．……………………………………11分
因為cn－cn＋1＝－
＝
＝
＞0．
即數列{cn}的各項依次單調遞減，所以要使cn≤t對n∈N*恒成立，只要c1≤t，又c1＝
，可得t的取值范圍是
． …………………13分
故實數t的取值范圍是
． …………………………………14分
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