題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分13分）設函數f（x）=x3+ax2－a2x+m（a>0）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在x∈[－1，1]內沒有極值點，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意的a∈[3,6]，不等式f（x）≤1在x∈[－2,2]上恒成立，求m的取值范圍．
（本小題滿分13分）設函數f（x）=x3+ax2－a2x+m（a>0）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在x∈[－1，1]內沒有極值點，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意的a∈[
3,6]，不等式f（x）≤1在x∈[－2,2]上恒成立，求m的取值范圍．
（本小題滿分13分）設函數f(x)=a .b,其中向量a =(m,cos2x),b =(1+sin2x,1),x∈R,且函數y=f(x)的圖象經過點
.
（Ⅰ）求實數m的值；
（Ⅱ）求函數f(x)的最小值及此時x的值的集合.
（本小題滿分13分）
設函數
，其圖像過點（0,1）.
（1）當方程
的兩個根分別為是
，1時,求f(x)的解析式；
（2）當
時，求函數f(x)的極大值與極小值.
（本小題滿分13分）
設函數
，其圖像過點（0,1）.
（1）當方程
的兩個根分別為是
，1時,求f(x)的解析式；
（2）當
時，求函數f(x)的極大值與極小值.
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1．A 2．A 3．B 4．A 5．C 6．D 7．D 8．B
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
9．x＝－1 10．40 11．4 12．2，
13．
14．－1＜m＜1
注：兩個空的填空題第一個空填對得2分，第二個空填對得3分.
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
15．（本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：f（x）＝cos2x－sin2x＋2
sinxcosx＋1＝sin2x＋cos2x＋1
＝2sin
＋1. ……………………………………………4分
因此f（x）的最小正周期為
，由
＋2k≤2 x＋
≤
＋2 k，k∈Z得
＋k≤x≤
＋k，k∈Z．
故f（x）的單調遞減區間為
， k∈Z．……………8分
（Ⅱ）當x∈
時，2x＋∈
，
則f（x）的最大值為3，最小值為0．………………………………………13分
16．（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）要得40分，8道選擇題必須全做對，在其余四道題中，有兩道題答對的概率為
，有一道題答對的概率為
，還有一道題答對的概率為
，所以得40分的概率為
P＝×××＝
． ………………………………………………6分
（Ⅱ）依題意，該考生得分的集合是{20，25，30，35，40}，得分為20表示只做對了四道題，其余各題都做錯，所求概率為
P1＝××
×
＝
；
同樣可求得得分為25分的概率為
P2＝
××××＋×××＋×××＝
；
得分為30分的概率為P3＝；
得分為35分的概率為P4＝
；
得分為40分的概率為P5＝．……………………………………………12分
所以得分為25分或30分的可能性最大． …………………………………13分
17．（本小題滿分14分）
解法一：
（Ⅰ）在直三棱柱ABC－A1B
底面
ABC，BC1在底面上的射影為CB．
由AC＝3，BC＝4，AB＝5，可得ACCB．
所以ACBC1． ……………………………4分
（Ⅱ）設BC1與CB1交于點O，
則O為BC1中點．連結OD．
在△ABC1中，D，O分別為AB，
BC1的中點，故OD為△ABC1的中位線，
∴OD∥AC1，又AC1中平面CDB1，
OD
平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1． ………………………9分
（Ⅲ）過C作CEAB于E，連結C1E．
由CC1底面ABC可得C1EAB．
故∠CEC1為二面角C1－AB－C的平面角．
在△ABC中，CE＝
，
在Rt△CC1E中，tan C1EC＝
＝
，
∴二面角C1－AB－C的大小為arctan．………………………………… 9分
解法二：
∵直三棱柱ABC－A1B
∴AC，BC，CC1兩兩垂直．如圖以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C－xyz，則C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．
（Ⅰ）∵
＝（－3，0，0），
＝（0，－4，4），
∴?＝0，故AC BC1.
…………………………………………4分
（Ⅱ）同解法一 …………………………………………………………………9分
（Ⅲ）平面ABC的一個法向量為m＝（0，0，1），
設平面C1AB的一個法向量為n＝（x0，y0，z0），
＝（－3，0，4），
＝（－3，4，0）．
由
得
令x0＝4，則z0＝3，y0＝3．
則n＝（4，3，3）．故cos＞m，n＞＝
＝
．
所求二面角的大小為arccos. ……………………………………14分
18.（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）當m＝1時，f（x）＝?x（x?1）2＝?x3＋2x3－x，得f（2）＝－2由
f′（x）＝?3x3＋4x?1，得f′（2）2＝?5. ……………………4分
所以，曲線y＝?x（x?1）2在點（2，?2）處的切線方程是y＋2＝?5（x?2），整理得5x＋y?8＝0. …………………………………………6分
（Ⅱ）f（x）＝?x（x?m）2＝?x3＋2mx2?m2x，
f ′（x）＝?3 x 2＋
令f ′（x）＝0解得x＝
或x＝m. ……………………………………10分
由于m＜0，當x變化時，f ′（x）的取值情況如下表：
x
（－∞，m）
m
f ′（x）
―
0
＋
0
―
因此函數f（x）的單調增區間是，且函數f（x）在x＝m處取得 極小值f（m）＝0. ………………………………………………………13分
19.（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由橢圓定義知
＋
＝1,將（1，1）代入得
b2＝
．故橢圓方程為＋
＝1．…………………………………4分
因此c2＝4－＝
，離心率e＝
． ………………………………6分
（Ⅱ）設C（xC，yC），D（xD，yD），由題意知，AC的傾斜角不為90°，
故設AC的方程為y＝k（x－1）＋1，聯立
消去y得（1＋3k2）x
2－6k（k－1）x＋3k2－6k－1＝0
……………………………………………………………………………8分
由點A（1，1）在橢圓上，可知xC＝
．
因為直線AC，AD的傾斜角互補，
故AD的方程為y＝－k（x－1）＋1，同理可得xD ＝
．
所以xC－xD＝
．
又yC＝k （xC－1）＋1，yD＝－k （xD－1）＋1，yC－yD＝k （xC＋xD）－2k＝
，
所以kCD＝
＝，即直線CD的斜率為定值．……………13分
20．（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）因為數列{bn}是等差數列，故設公差為d，
則bn＋1－bn＝d對n∈N*恒成立．依題意bn＝
an，an＝
．
由an＞0，
所以
＝
＝
是定值，從而數列{an}是等比數列.…5分
（Ⅱ）當n＝1時，a1＝S1＝，當n≥2時，an＝Sn－Sn-1＝
，當n＝1時也適合此式，即數列{an}的通項公式是an ．……………………… 7分
由bn＝an，數列{bn}的通項公式是bn＝n．…………………………8分
所以Pn
，Pn＋1
，過這兩點的直線方程是y－n＝－2n＋1
，該直線與坐標軸的交點是An
和Bn（0，n＋2）．
cn＝
×
＝
．……………………………………11分
因為cn－cn＋1＝－
＝
＝
＞0．
即數列{cn}的各項依次單調遞減，所以要使cn≤t對n∈N*恒成立，只要c1≤t，又c1＝
，可得t的取值范圍是
． …………………13分
故實數t的取值范圍是
． …………………………………14分
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