東城區2008―2009學年度第一學期期末教學目標檢測
高三數學（理科）
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至9
頁，共150分。考試時間120分鐘。考試結束，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷（選擇題 共40分）
注意事項：
1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目涂寫在答題卡上。
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。不能答在試卷上。
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
1．已知a＝（3，4），b＝（－6，－8），則向量a與b （ ）
A．互相平行 B．夾角為60° C．夾角為30° D．互相垂直
2．已知集合A={x∈Z｜x2－2x－3＜0}，B＝{ x∈Z
x－3｜＜2}，則集合A
B等于 （ ）
A．{2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
3．已知a、b為實數，則
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．在△ABC中，∠ C＝120°，tanA+tanB＝
，則tanAtanB的值為
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若f（x）是偶函數，且當x∈［0，+∞）時， f（x）＝x－1，則不等式f（x－1）＜0的解集是 （ ）
A．{x｜－1＜x＜0} B．{x｜x＜0或1＜x＜2}
C．{x｜0＜x＜2} D．{x｜1＜x＜2}
6．在
的展開式中，常數項為15，則n的一個值可以是
（ ）
A．3 B．
7．已知函數f（x）＝－
在區間M上的反函數是其本身，則M可以是（ ）
A．［－2，－1］ B．［－2，0］ C．［0，2］ D．［－1，0］
8．已知垂直豎在水平地面上相距20米的兩根旗桿的高分別為10米和15米，地面上的動點P到兩旗桿頂點的仰角相等，則點P的軌跡是 （ ）
A．橢圓 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線
第Ⅱ卷（非選擇題 共110分）
注意事項：
1.用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。
2.答卷前將密封線內的項目填寫清楚
題號
一
二
三
總分
1～8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
分數
得分
評卷人
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。
9．已知{an}為等差數列，若a1+ a5+ a9＝
，則cos（a2+ a8）的值為 ．
10．設x、y滿足約束條件
則z＝2x+y的最大值是 ．
11．一個球的球心到過球面上A、B、C三點的截面的距離等于球半徑的一半，若AB＝BC
＝CA＝3，則球的半徑是 ，球的體積為 ．
12．如果把個位數是1，且恰有3個數字相同的四位數叫做“好數”，那么在由1，2，3，4四個數字組成的有重復數字的四位數中，“好數”共有 個．
13．已知雙曲線
－
＝1的左、右焦點分別為F1、F2，過F2的直線與該雙曲線的右支交于A、B兩點，若
＝5，則△ABF1的周長為
．
14．直線y＝2x+m和圓x2+y2＝1交于A、B兩點，以Ox為始邊，OA、OB為終邊的角分
別為
、
，則sin（+）的值為
．
得分
評卷人
三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15．（本小題滿分13分）
已知函數f（x）＝cos2x-sin2x+2
sinxcosx+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（）＝2，且a∈
，求的值．
16．（本小題滿分13分）
得分
評卷人
北京的高考數學試卷中共有8道選擇題，每個選擇題都給了4個選項（其中有且僅有一個選項是正確的）．評分標準規定：每題只選1項，答對得5分，不答或答錯得0分．某考生每道題都給出了答案，已確定有4道題的答案是正確的，而其余的題中，有兩道題每題都可判斷其有兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷其有一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜．對于這8道選擇題，試求：
（Ⅰ）該考生得分為40分的概率；
（Ⅱ）該考生所得分數
的分布列及數學期望E．
17．（本小題滿分14分）
得分
評卷人
如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5， AA1＝4．
（Ⅰ）求證：AC
BC1；
（Ⅱ）求二面角C1－AB－C的大小；
（Ⅲ）在AB上是否存在點D，使得AC1∥平面CDB1，
若存在，試給出證明；若不存在，請說明理由．
18．（本小題滿分13分）
得分
評卷人
已知函數f（x）＝1n（2－x）+ax．
（Ⅰ）設曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x+1）2+y2＝1相切，求a的值；
（Ⅱ）當a＞0時，求函數f（x）的單調區間．
19．（本小題滿分13分）
得分
評卷人
已知橢圓M的對稱軸為坐標軸，且拋物線x2＝－4
y的焦點是橢圓M的一個焦點，又點A（1，）在橢圓M上．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）已知直線l的方向向量為（1，），若直線l與橢圓M交于B、C兩點，求△ABC面積的最大值．
20．（本小題滿分14分）
得分
評卷人
已知點B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn），…（n∈N*）順次為直線y＝
+
上的點，點A1（x1，0），A2（x2，0），…An（xn，0），…（n∈N*）順次為x軸上的點，其中x1＝a（0＜a＜1），對任意的n∈N*，點An、Bn、An+1構成以Bn為頂點的等腰三角形．
（Ⅰ）證明：數列{yn}是等差數列；
（Ⅱ）求證：對任意n∈N*，x n+2－x n是常數，并求數列{x n}的通項公式；
（Ⅲ）在上述等腰三角形A nB nA n+1中是否存在直角三角形，若存在，求出此時a的值；若不存在，請說明理由．
東城區2008―2009學年度第一學期期末教學目標檢測
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1．A 2．A 3．B 4．B 5．C 6．D 7．B 8．B
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
9．－
10．5 11．2，
12．12 13．26 14．－
注：兩個空的填空題第一個空填對得2分，第二個空填對得3分．
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
15．（本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：f（x）＝cos2x－sin2x+2
sinxcosx+1＝sin2x+cos2x+1
＝2sin
+1. ……………………………………………5分
因此f（x）的最小正周期為
，最小值為－1．……………………………7分
（Ⅱ）由f（
）＝2得2 sin
+1＝2，即sin＝． ………9分
而由∈
得2+
∈
．……………………………10分
故2+＝
．…………………………………………………………12分
解得＝
． ………………………………………………………………13分
16．（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）要得40分，8道選擇題必須全做對，在其余四道題中，有兩道題答對的概率為，有一道題答對的概率為
，還有一道題答對的概率為
，所以得40分的概率為
P＝×××＝
． ………………………………………………5分
（Ⅱ）依題意，該考生得分
的取值是20，25，30，35，40，得分為20表示只做對了四道題，其余各題都做錯，故求概率為P（＝20）＝××
×
＝
；
同樣可求得得分為25分的概率為
P（＝25）＝
××××+×××+×××＝
；
得分為30分的概率為P（＝30）＝；
得分為35分的概率為，P（＝35）＝
；
得分為40分的概率為P（＝40）＝．
于是的分布列為
20
25
30
35
40
P
………………………………………………………………………………11分
故E＝20×+25×+30×+35×+40×＝
．
該考生所得分數的數學期望為 ………………………………………13分
17．（本小題滿分14分）
解法一：
（Ⅰ）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1
底面
ABC，BC1在底面上的射影為CB．
由AC＝3，BC＝4，AB＝5，可得ACCB．
所以ACBC1………………………4分
（Ⅱ）過C作CEAB于E，連結C1E．
由CC1底面ABC可得C1EAB．
故∠CEC1為二面角C1－AB－C的平面角．
在
ABC中，CE＝
，
在RtCC1E中，tanC1EC＝
＝
，
故所求二面角的大小為arctan．……9分
（Ⅲ）存在點D使AC1∥平面CDB1，且D為AB中點，下面給出證明．
設BC1與CB1交于點O，則O為BC1中點．連接OD．
在△ABC1中，D，O分別為AB，BC1的中點，故OD為△ABC1的中位線，
∴OD∥AC1，又AC1
平面CDB1，OD
平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．
故存在點D為AB中點，使AC1∥平面CDB1． ………………………………14分
解法二：
∵直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC，BC，CC1兩兩垂直．如圖以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C－xyz，則
C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．
（Ⅰ）∵
＝（－3，0，0），
＝（0，－4，4），
∴?＝0，故ACBC1 ………………………………………………4分
（Ⅱ）平面ABC的一個法向量為m＝（0，0，1），設平面C1AB的一個法向量為
n＝（x0，y0，z0），
＝（－3，0，4），
＝（－3，4，0）．
由
得
令x0＝4，則z0＝3，y0＝3．
則n＝（4，3，3）．
故cos＜m，n＞＝
＝
．
所求二面角的大小為arccos. ………………………………………9分
（Ⅲ）同解法一 ………………………………………………………………………4分
18．（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）依題意有，f ′（x）＝a+
．……………………………………………3分
因此過（1，f（1））點的直線的斜率為a－1，又f（1）＝a，
所以，過（1，f（1））點的直線方程為y－a＝（a－1）（x－1）．…………4分
又已知圓的圓心為（－1，0），半徑為1，依題意，
＝1．
解得a＝1． …………………………………………………………………6分
（Ⅱ）f ′（x）＝a+.
因為a＞0，所以2－
＜2，又由已知x＜2．………………………………9分
令f ′（x）＞0，解得x＜2－，令f ′（x）＜0，解得2－＜x＜2． …11分
所以，f（x）的單調增區間是
，
f（x）的單調減區間是
．………………………………………13分
19．（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由已知拋物線的焦點為（0，－
），故設橢圓方程為
+
＝1．
將點A（1，）代入方程得
+
＝1，整理得a4－5a2+4＝0，
解得a2＝4或a2＝1（舍）．
故所求橢圓方程為
+
＝1． …………………………………………6分
（Ⅱ）設直線BC的方程為y＝x+m，設B（x1，y1），C（x2，y2），
代入橢圓方程并化簡得4x2+2mx+m2－4＝0， …………………………9分
由＝8m2－16（m2－4）＝8（8－m2）＞0，可得m2＜8．
由x1+x2＝-
m，x1x2＝
，
故
＝
＝
．
又點A到BC的距離為d＝
， …………………………………………11分
故
＝?d＝
≤
?
＝，
當且僅當2m2＝16－2m2，即m＝±2時取等號（滿足＞0）
所以△ABC面積的最大值為． ………………………………………13分
20．（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）依題意有yn＝
+
，于是yn+1－yn＝．
所以數列
是等差數列． ………………………………………………4分
（Ⅱ）由題意得
＝n，即xn+xn+1＝2n，（n∈N*）①
所以又有xn+2+ xn+1＝2（n+1）． ②……………………6分
由②－①得xn+2－xn＝2，可知x1，x3，x5，…；x2，x4，x6，…都是等差數列．那么得
x2k－1＝x1+2（k－1）＝2k+a－2，
x2k＝x2+2（k－1）＝2－a+2（k－1）＝2k－a．（k∈N*）
故xn＝
……………………………………………10分
（Ⅲ）當n為奇數時，An（n+a－1，0），An+1（n+1－a，0），所以
＝2（1－a）；
當n為偶數時，An（n－a，0）An+1（n+a，0），所以＝2a；
作BnCnx軸，垂足為Cn，則
＝+，要使等腰三角形AnBnAn+1為直角三角形，必須且只需＝2.
當n為奇數時，有2（1－a）＝2
，即12a＝11－3n． ①
當n＝1時，a＝；當n＝3時，a＝
；當n≥5時，①式無解．
當n為偶數時，有12a＝3n+1，同理可求得a＝
．
綜上所述，上述等腰三角形AnBnAn+1中存在直角三角形，此時a的值為或 或. ………………………………………………………………………14分
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