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安徽省巢湖市2009屆高三第二次教學質量檢測

數學(文科)試題

 

命題人:   廬江二中   孫大志     柘皋中學   孫  平     巢湖四中   胡善俊

 

參考公式:

1.球的表面積公式,其中表示球的半徑.

2.球的體積公式,其中表示球的半徑.

3.柱體的體積公式 ,其中表示柱體的底面積,表示柱體的高.

4.錐體的體積公式 ,其中表示錐體的底面積,表示錐體的高.

5.圓柱的表面積公式,其中表示圓柱的底面半徑,表示圓柱的高.

6. 線性回歸方程中的的計算公式.

 

 

    一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,

1. 已知集合等于        A.{5}   B.{2,8}     C.{1,3,7}    D.

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2. 已知復數,則對應的點在                             

A. 第一象限         B. 第二象限         C. 第三象限     D. 第四象限

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3. 等差數列的前項和為,若 ,則           

                       

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A.1004               B.2008               C.2009              D.2010

 

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4. 若abc為實數,則下列命題正確的是                                

A.若ab,則ac2bc2     B.若ab<0,則a2abb2

C.若ab<0,則<        D.若ab<0,則>   

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5.已知雙曲線以坐標原點為頂點,以曲線的頂點為焦點的拋物線與曲線的漸近線的一個交點坐標為(4,4),則雙曲線的離心率為                

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     A.              .              C.           D. A.    

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6. 下列結論 ;

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 ①已知命題R,,則R,

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 ②周期為的必要條件;

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③“,使得”是假命題,則

其中正確的是                                                     

A.            B. ①②         C. ②③           D. ①②③

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7. 函數的最小正周期為,且其圖像向右平移個單位后得到的函數為奇函數,則函數的圖象                             

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A.關于點對稱                 B.關于直線對稱

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C.關于點對稱                D.關于直線對稱

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8. 已知向量的最小值為

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A. 1           B.          C.      D.

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9. 下圖是把二進制的數化成十進制數的一個程序框圖,則判斷框內應填入的條件是                                                                  

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A.    B.     C.      D.

 

 

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10. 某廠一月份、二月份、三月份、四月份的利潤分別為2、4、4、6(單位:萬元),用線性回歸分析估計該廠五月份的利潤為                                       

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       A.6.5萬元                 B.7萬元                C.7.5萬元               D. 8萬元

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11. 已知集合,集合,若向區域內投一點,則點落在區域內的概率為                       

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A.             B.              C.         D.

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12. 已知函數上的偶函數,且,當,則函數的零點個數                                (     )

       A.3                        B.4                        C.5                        D.6

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二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,滿分16分.把答案填寫在答題卷上相應的位置.只需寫出最后結果,不必寫出解題過程.

13.               .

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14. 直線被圓截得的弦長為                   .

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15. 圓柱的內切球與圓柱的上下底面和周壁都相切.若圓柱內切球的體積為,則  圓柱的表面積為               .

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16. 已知冪函數的圖像過定點且點在直線的最小值為              .

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三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

17. (本小題滿分12分)

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已知向量,設

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(Ⅰ)  求函數 上的零點;

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(Ⅱ)設的內角的對邊分別為,已知 ,求邊的值.

 

 

 

 

 

 

 

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  一個四棱錐的直觀圖和三視圖如圖所示:

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        (Ⅰ) 求證:   AD⊥PD;

        (Ⅱ) 若M為PB的中點 ,試判斷直線CM與平面PDA是否平行,并說明理由 ;

        (Ⅲ) 若PB=1,求三棱錐A-PDC的體積.

         

         

         

         

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         19. (本小題滿分12分)

        巢湖市教育局規定:初中升學須進行體育考試,總分30分,成績計入初中畢業升學考試總分,還將作為初中畢業生綜合素質評價“運動和健康”維度的實證材料.為了解九年級學生的體育素質,某校從九年級的六個班級共420名學生中按分層抽樣抽取60名學生進行體育素質測試.

        (Ⅰ) 若九(1)班現有學生70人,按分層抽樣,則九(1)班應抽取學生多少人?

        (Ⅱ)下列是九年級(1)、(2)班所抽取學生的體育測試成績的莖葉圖

         

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                                                  九(1)         九(2)

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                                                           9     0

                                                                

                                      3  2     6   5   1    1    6  4    5  6  3  0

                                                                

                                          1     5    0   3     2      1  0  3  4 

         

        根據莖葉圖估計九(1)、九(2)班學生體育測試的平均成績;

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        (Ⅲ)已知另外四個班級學生的體育測試的平均成績: 17.3  16.9  18.4  19.4.若從六個班級中任意抽取兩個班級學生的平均成績作比較,求平均成績之差的絕對值不小于1的概率.

         

         

         

         

         

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        20. (本小題滿分12分)

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             圓、橢圓、雙曲線都有對稱中心,統稱為有心圓錐曲線,它們統一的標準方程為.圓的很多優美性質可以類比推廣到有心圓錐曲線. 如圓的“垂徑定理”的逆定理:圓的平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦. 類比推廣到有心圓錐曲線:

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        已知直線與曲線交于兩點,的中點為,若直線(為坐標原點)的斜率都存在,則.

        這個性質稱為有心圓錐曲線的“垂徑定理”.

        (Ⅰ)證明有心圓錐曲線的“垂徑定理”;

        (Ⅱ)利用有心圓錐曲線的“垂徑定理”解答下列問題:

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        ①     過點作直線與橢圓交于兩點,求的中點的軌跡的方程;

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        ②     過點作直線與有心圓錐曲線交于兩點,是否存在這樣的直線使的中點?若存在,求直線的方程;若不存在,說明理由.

         

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        21. (本小題滿分13分)

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        已知函數.

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        (Ⅰ)若函數的圖像在處的切線與直線垂直,求函數的單調區間;

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          (Ⅱ)求函數的極值.

         

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        22. (本小題滿分13分)

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        已知數列滿足 .

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        (Ⅰ)若,求數列的通項公式;

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        (Ⅱ)若,設,求數列的前項和

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        (Ⅲ)是否存在實數,使數列滿足不等式恒成立?若存在,求出的取值范圍,若不存在,說明理由.

        巢湖市2009屆高三第二次教學質量檢測

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        一、 C B C B B AC D A B    C D

        二、13.           14.              15.         16.3

        三、17(Ⅰ)

                    = =

        得,

        .

        故函數的零點為.         ……………………………………6分

        (Ⅱ)由

        .又

               

                 , 

                           ……………………………………12分

        18. 由三視圖可知:,底面ABCD為直角梯形,, BC=CD=1,AB=2

        (Ⅰ)∵  PB⊥DA,梯形ABCD中,PB=BC=CD=1,AB=2 ∴BD=

        又可得DA=,∴DA⊥BD ,∴DA⊥平面PDB,

        ∴  AD⊥PD                                   ……………………………4分

         

         (Ⅱ)  CM∥平面PDA  理由如下:

        取PB中點N,連結MN,DN,可證MN∥CD且MN=CD,∴CM∥DN,∴CM∥平面PDA

                                                                         …………8分

         (Ⅲ)            

                                                                    ……………12分

        19. (Ⅰ)九年級(1)班應抽取學生10名; ………………………2分

        (Ⅱ)通過計算可得九(1)班抽取學生的平均成績為16.5,九(2)班抽取學生的平均成績為17.2.由此可以估計九(1)班學生的平均成績為16.5, 九(2)班學生的平均成績為      17.2                                                     ………………………6分

        (Ⅲ)基本事件總數為15,滿足條件的事件數為9 ,故所求事件的概率為

        ………………………………12分

        20. (Ⅰ)證明 設

        相減得  

        注意到  

        有        

        即                           …………………………………………5分

        (Ⅱ)①設

        由垂徑定理,

        即       

        化簡得  

        軸平行時,的坐標也滿足方程.

        故所求的中點的軌跡的方程為

            …………………………………………8分

        ②      假設過點P作直線與有心圓錐曲線交于兩點,且P為的中點,則

                 

        由于 

        直線,即,代入曲線的方程得

                     

                    

        故這樣的直線不存在.                      ……………………………………12分

        21.(Ⅰ)函數的定義域為

        由題意易知,   得    ;

                                     當時,時,

        故函數的單調增區間為,單調減區間為.   …………………………6分

           (Ⅱ)

        ①     當時,遞減,無極值.

        ②     當時,由

        時,時,

        時,函數的極大值為

        ;

        函數無極小值.                                 …………………………13分

        22.(Ⅰ)            

                                  …………………………………………4分

        (Ⅱ) ,

                  ……………………………8分

         (Ⅲ)假設

        ,可求

        故存在,使恒成立.

                                           ……………………………………13分

         

         

         

         

         

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