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 北京市西城區 2009年抽樣測試

                        高三數學試卷(理科)                 2009.4     

                       

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.共150分.考試時間120分鐘.

 

題號

 

分數

總分

15

16

17

18

19

20

 

                          第Ⅰ卷(共40分)

 

一、選擇題:本大題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分. 在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.

1. 已知全集,集合,那么集合等于(      )

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A.                           B.        

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C.                             D.

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2. 設i是虛數單位,復數i,則等于(    )

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A. i                            B.i     

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 C. i                            D. i

 

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3. 若數列是公比為4的等比數列,且,則數列是(      )

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A. 公差為2的等差數列                 B. 公差為的等差數列  

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C. 公比為2的等比數列                 D. 公比為的等比數列

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4. 設a為常數,函數. 若為偶函數,則等于(     )

A. -2                                 B.  2

C. -1                                 D.  1

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5. 已知直線a 和平面,那么的一個充分條件是(       )

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A. 存在一條直線b,        B. 存在一條直線b,

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C. 存在一個平面       D. 存在一個平面      

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6. 與直線和圓都相切的半徑最小的圓的方程是(      )

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A.                  B.        

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C.                  D.

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7.設 R,  且,則 (      )

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A.                                  B.       

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C.                            D.

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8. 函數f (x)的定義域為D,若對于任意,當時,都有,則稱函數在D上為非減函數 . 設函數f (x)在[0,1]上為非減函數,且滿足以下三個條件:

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1;        2;      3.

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等于(     )

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 A.                                     B.        

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 C.  1                                     D.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

北京市西城區 2009年抽樣測試

試題詳情

                        高三數學試卷(理科)                 2009.4      

                                            

第Ⅱ卷( 共110分)

 

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二、填空題:本大題共 6 小題,每小題 5 分,共 30 分. 把答案填在題中橫線上 .

9. 的值等于___________.

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10. 的展開式中的系數是___________;其展開式中各項系數之和為________.(用數字作答)

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11. 不等式的解集為_____________.

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12. 設O為坐標原點,向量  . 將繞著點  按逆時針方向旋轉 得到向量 , 則的坐標為____________.

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13. 給出下列四個函數:

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;             ②

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  ③ ;              ④ .

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其中在上既無最大值又無最小值的函數是_________________.(寫出全部正確結論的序號)

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14. 已知函數由下表給出:

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0

1

2

3

4

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其中等于在中k所出現的次數.

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=______________;___________.

 

 

 

 

 

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三、解答題:本大題共 6 小題,共 80 分. 解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分12分)

某個高中研究性學習小組共有9名學生,其中有3名男生和6名女生. 在研究學習過程中,要進行兩次匯報活動(即開題匯報和結題匯報),每次匯報都從這9名學生中隨機選1人作為代表發言. 設每人每次被選中與否均互不影響.

(Ⅰ)求兩次匯報活動都由小組成員甲發言的概率;

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(Ⅱ)設為男生發言次數與女生發言次數之差的絕對值,求的分布列和數學期望. 

 

 

 

 

 

 

 

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16.(本小題滿分12分)

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如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A在x軸正半軸上,直線AB的傾斜角為,|OB|=2, 設.

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(Ⅰ)用表示點B的坐標及

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(Ⅱ)若,求的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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17.(本小題滿分14分)

試題詳情

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,

試題詳情

.

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(Ⅰ)求證:平面

(Ⅱ)求二面角B-PD-C的大小;

(Ⅲ)求點B到平面PAD的距離.

 

 

 

 

 

 

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18.(本小題滿分14分)

試題詳情

   設R,函數.

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(Ⅰ)若函數在點處的切線方程為,求a的值;

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(Ⅱ)當a<1時,討論函數的單調性.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19.(本小題滿分14分)

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   已知橢圓C ,過點M(0, 3)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A、B.

 (Ⅰ)若l與x軸相交于點N,且A是MN的中點,求直線l的方程;

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(Ⅱ)設P為橢圓上一點, 且 (O為坐標原點). 求當時,實數的取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

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20.(本小題滿分14分)

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,對于有窮數列(), 令中的最大值,稱數列的“創新數列”. 數列中不相等項的個數稱為的“創新階數”. 例如數列的創新數列為2,2,3,7,7,創新階數為3.

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考察自然數的所有排列,將每種排列都視為一個有窮數列.

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(Ⅰ)若m=5, 寫出創新數列為3,4,4,5,5的所有數列

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(Ⅱ) 是否存在數列,使它的創新數列為等差數列?若存在,求出所有的數列,若不存在,請說明理由;

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(Ⅲ)在創新階數為2的所有數列中,求它們的首項的和.

 

 

 

 

試題詳情

                   高三數學試卷(理科)                 2009.4   

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

A

B

C

C

D

A

一、選擇題:本大題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分.

 

 

 

二、填空題:本大題共 6 小題,每小題 5 分,共 30 分.

9.      10. 10,243      11.    12.       13. 24    14.   

注:兩空的題目,第一個空3分,第二個空2分.

三、解答題:本大題共 6 小題,共 80 分.

15.(本小題滿分12分)

(Ⅰ)解:記 “2次匯報活動都是由小組成員甲發言” 為事件A.    -----------------------------1分     

由題意,得事件A的概率,              

即2次匯報活動都是由小組成員甲發言的概率為.            ---------------------------5分

(Ⅱ)解:由題意,ξ的可能取值為2,0,                           ----------------------------6分

每次匯報時,男生被選為代表的概率為,女生被選為代表的概率為.

 所以,的分布列為:

2

0

P

---------------------------10分

的數學期望.                       ---------------------------12分

16.(本小題滿分12分)

(Ⅰ)解:由三角函數的定義,得點B的坐標為.      ---------------------------1分

中,|OB|=2,

由正弦定理,得,即

所以 .                               ---------------------------5分

注:僅寫出正弦定理,得3分. 若用直線AB方程求得也得分.

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得, ------------------7分

因為

所以,                             ----------------------------9分

                        

,                                    ---------------------------11分

        所以.                      ---------------------------12分

17.(本小題滿分14分)

(Ⅰ)證明:在中,

      

       ,即,                             ---------------------------1分

      

       平面.                                      ---------------------------4分

(Ⅱ)方法一:

 解:由(Ⅰ)知

平面,                                      ---------------------------5分

如圖,過C作于M,連接BM,

是BM在平面PCD內的射影,

為二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------7分

中, , PC=1,

.      ---------------8分

中, , BC=1, ,

,

二面角B-PD-C的大小為.                       ---------------------------9分

  方法二:

       解:如圖,在平面ABCD內,以C為原點, CD、CB、CP分別為x、y、z軸,建立空間直角坐標系C-xyz,

       則,            ---------------------------5分

過C作于M,連接BM,設

       則

;           1       

共線,

,               2

由12,解得

點的坐標為

,

為二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------7分

        

         , 

 二面角B-PD-C的大小為.                         --------------------------9分

(Ⅲ)解:設點B到平面PAD的距離為h,               

      

       平面ABCD,

      

       在直角梯形ABCD中,

       .

       在中,

       

       

           的面積,                  ---------------------------10分

       三棱錐B-PAD的體積

,                             ---------------------------12分

,解得

       點B到平面PAD的距離為.                          ---------------------------14分                       

18.(本小題滿分14分)

(Ⅰ)解:函數的定義域為,                      ---------------------------1分

           .                                       ---------------------------4分

      因為,所以.                                ---------------------------5分

(Ⅱ)解:當時,因為

              所以,故上是減函數;        ------------------------7分

         當a=0時,當時,,故上是減函數,

               當時,,故上是減函數,

               因為函數上連續,

               所以上是減函數;                  ---------------------------9分

      當0<a<1時,由, 得x=,或x=. --------------------------10分

            x變化時,的變化如情況下表:

0

+

0

極小值

極大值

     

 

 

 

             

        所以上為減函數、在上為減函數;上為增函數.                                                ------------------------13分

 綜上,當時,上是減函數;

 當0<a<1時,上為減函數、在上為減函數;上為增函數.                                      ------------------------14分

19.(本小題滿分14分)

   (Ⅰ)解:設A(x1, y1),

因為A為MN的中點,且M的縱坐標為3,N的縱坐標為0,

所以,                                            ---------------------------1分

又因為點A(x1, y1)在橢圓C上

所以,即,解得

則點A的坐標為,                       -------------------------3分

所以直線l的方程為.  --------------------------5分

   (Ⅱ)解:設直線AB的方程為,A(x1, y1),B(x2, y2),

當AB的方程為時,,與題意不符.        --------------------------6分

當AB的方程為時:

    由題設可得A、B的坐標是方程組的解,

    消去y得

    所以,                    

    則

                                                       ---------------------------8分

    因為

    所以,解得

    所以.                                      --------------------------10分

因為,即

    所以當時,由,得

上述方程無解,所以此時符合條件的直線不存在;      --------------------11分

時,

        因為點在橢圓上,

        所以,             -------------------------12分

        化簡得

        因為,所以

        則.                            

綜上,實數的取值范圍為.             ---------------------------14分

20.(本小題滿分14分)

(Ⅰ)解:由題意,創新數列為3,4,4,5,5的數列有兩個,即:

(1)數列3,4,1,5,2;                           ---------------------------2分

(2)數列3,4,2,5,1.                            ---------------------------3分

         注:寫出一個得2分,兩個寫全得3分.

(Ⅱ)答:存在數列,它的創新數列為等差數列.

解:設數列的創新數列為

因為中的最大值.

所以.

由題意知:中最大值,中最大值,

     所以,且.                       

為等差數列,設其公差為d,則,且N,    -----------------5分

     當d=0時,為常數列,又

           所以數列,此時數列是首項為m的任意一個符合條件的數列;

      當d=1時,因為


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