北京市西城區 2009年抽樣測試
高三數學試卷(理科) 2009.4
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.共150分.考試時間120分鐘.
題號
分數
一
二
三
總分
15
16
17
18
19
20
第Ⅰ卷(共40分)
一、選擇題:本大題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分. 在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.
1. 已知全集
,集合
,那么集合
等于( )
A.
B.
C. ![]()
D. ![]()
2. 設i是虛數單位,復數
i
,則
等于( )
A.
i
B.
i
C.
i
D.
i
3. 若數列
是公比為4的等比數列,且
,則數列
是( )
A. 公差為2的等差數列 B. 公差為
的等差數列
C. 公比為2的等比數列 D. 公比為
的等比數列
4. 設a為常數,函數
. 若
為偶函數,則
等于( )
A. -2 B. 2
C. -1 D. 1
5. 已知直線a 和平面
,那么
的一個充分條件是( )
A. 存在一條直線b,
B. 存在一條直線b,
C. 存在一個平面
D. 存在一個平面
6. 與直線
和圓
都相切的半徑最小的圓的方程是( )
A.
B.
C.
D. ![]()
7.設
R, 且
,
,則 (
)
A.
B.
C.
D. ![]()
8. 函數f (x)的定義域為D,若對于任意
,當
時,都有
,則稱函數
在D上為非減函數 . 設函數f (x)在[0,1]上為非減函數,且滿足以下三個條件:
1
; 2
;
3
.
則
等于( )
A.
B.
C. 1 D.
![]()
北京市西城區 2009年抽樣測試
高三數學試卷(理科) 2009.4
第Ⅱ卷( 共110分)
二、填空題:本大題共 6 小題,每小題 5 分,共 30 分. 把答案填在題中橫線上 .
9.
的值等于___________.
10.
的展開式中
的系數是___________;其展開式中各項系數之和為________.(用數字作答)
11. 不等式
的解集為_____________.
12. 設O為坐標原點,向量
. 將
繞著點
按逆時針方向旋轉
得到向量
, 則
的坐標為____________.
13. 給出下列四個函數:
①
;
②
;
③
; ④
.
其中在
上既無最大值又無最小值的函數是_________________.(寫出全部正確結論的序號)
14. 已知函數
由下表給出:
![]()
0
1
2
3
4
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
其中
等于在
中k所出現的次數.
則
=______________;
___________.
三、解答題:本大題共 6 小題,共 80 分. 解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
15.(本小題滿分12分)
某個高中研究性學習小組共有9名學生,其中有3名男生和6名女生. 在研究學習過程中,要進行兩次匯報活動(即開題匯報和結題匯報),每次匯報都從這9名學生中隨機選1人作為代表發言. 設每人每次被選中與否均互不影響.
(Ⅰ)求兩次匯報活動都由小組成員甲發言的概率;
(Ⅱ)設
為男生發言次數與女生發言次數之差的絕對值,求
的分布列和數學期望.
16.(本小題滿分12分)
如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A在x軸正半軸上,直線AB的傾斜角為
,|OB|=2, 設
.
(Ⅰ)用
表示點B的坐標及
;
(Ⅱ)若
,求
的值.
17.(本小題滿分14分)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,
又
.
(Ⅰ)求證:
平面
;
(Ⅱ)求二面角B-PD-C的大小;
(Ⅲ)求點B到平面PAD的距離.
18.(本小題滿分14分)
設
R,函數
.
(Ⅰ)若函數
在點
處的切線方程為
,求a的值;
(Ⅱ)當a<1時,討論函數
的單調性.
19.(本小題滿分14分)
已知橢圓C
,過點M(0, 3)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A、B.
(Ⅰ)若l與x軸相交于點N,且A是MN的中點,求直線l的方程;
(Ⅱ)設P為橢圓上一點, 且
(O為坐標原點). 求當
時,實數
的取值范圍.
20.(本小題滿分14分)
設
,對于有窮數列
(
), 令
為
中的最大值,稱數列
為
的“創新數列”. 數列
中不相等項的個數稱為
的“創新階數”. 例如數列
的創新數列為2,2,3,7,7,創新階數為3.
考察自然數
的所有排列,將每種排列都視為一個有窮數列
.
(Ⅰ)若m=5, 寫出創新數列為3,4,4,5,5的所有數列
;
(Ⅱ) 是否存在數列
,使它的創新數列為等差數列?若存在,求出所有的數列
,若不存在,請說明理由;
(Ⅲ)在創新階數為2的所有數列
中,求它們的首項的和.
高三數學試卷(理科) 2009.4
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
B
C
C
D
A
一、選擇題:本大題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分.
二、填空題:本大題共 6 小題,每小題 5 分,共 30 分.
9.
10. 10,243 11.
12.
13. 24 14.
注:兩空的題目,第一個空3分,第二個空2分.
三、解答題:本大題共 6 小題,共 80 分.
15.(本小題滿分12分)
(Ⅰ)解:記 “2次匯報活動都是由小組成員甲發言” 為事件A. -----------------------------1分
由題意,得事件A的概率
,
即2次匯報活動都是由小組成員甲發言的概率為
.
---------------------------5分
(Ⅱ)解:由題意,ξ的可能取值為2,0, ----------------------------6分
每次匯報時,男生被選為代表的概率為
,女生被選為代表的概率為
.
;
;
所以,
的分布列為:
理科數學Word版%20.files/image159.gif)
2
0
P
理科數學Word版%20.files/image240.gif)
理科數學Word版%20.files/image242.gif)
---------------------------10分
的數學期望
.
---------------------------12分
16.(本小題滿分12分)
(Ⅰ)解:由三角函數的定義,得點B的坐標為
. ---------------------------1分
在
中,|OB|=2,
,
由正弦定理,得
,即
,
所以
.
---------------------------5分
注:僅寫出正弦定理,得3分. 若用直線AB方程求得
也得分.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得
, ------------------7分
因為
,
所以
,
----------------------------9分
又理科數學Word版%20.files/image266.gif)
,
---------------------------11分
所以
.
---------------------------12分
17.(本小題滿分14分)
(Ⅰ)證明:在
中,
,
,
,即
,
---------------------------1分
,
平面
.
---------------------------4分
(Ⅱ)方法一:
解:由(Ⅰ)知
,
又
,
平面
,
---------------------------5分
如圖,過C作
于M,連接BM,
是BM在平面PCD內的射影,
,
又理科數學Word版%20.files/image296.gif)
為二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------7分
在
中,
, PC=1,
,
理科數學Word版%20.files/image310.gif)
,
又
,
,
. ---------------8分
在
中,
, BC=1,
,
,
二面角B-PD-C的大小為
.
---------------------------9分
方法二:
解:如圖,在平面ABCD內,以C為原點, CD、CB、CP分別為x、y、z軸,建立空間直角坐標系C-xyz,
則
,
---------------------------5分
過C作
于M,連接BM,設
,
則
,
,
;
1
共線,
,
2
由12,解得
,
點的坐標為
,
,
,
,
,
又
,
為二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------7分
,
,
,
二面角B-PD-C的大小為
.
--------------------------9分
(Ⅲ)解:設點B到平面PAD的距離為h,
,
,
平面ABCD,
,
,
在直角梯形ABCD中,
,
.
在
中,
,
,
理科數學Word版%20.files/image395.gif)
,
,
的面積
,
---------------------------10分
三棱錐B-PAD的體積
,
理科數學Word版%20.files/image409.gif)
,
---------------------------12分
即
,解得
,
點B到平面PAD的距離為
.
---------------------------14分
18.(本小題滿分14分)
(Ⅰ)解:函數
的定義域為
,
---------------------------1分
理科數學Word版%20.files/image423.gif)
.
---------------------------4分
因為
,所以
.
---------------------------5分
(Ⅱ)解:當
時,因為
,
所以
,故
在
上是減函數;
------------------------7分
當a=0時,當
時,
,故
在
上是減函數,
當
時,
,故
在
上是減函數,
因為函數
在
上連續,
所以
在
上是減函數;
---------------------------9分
當0<a<1時,由
, 得x=
,或x=
. --------------------------10分
x變化時,
的變化如情況下表:
理科數學Word版%20.files/image461.gif)
理科數學Word版%20.files/image463.gif)
理科數學Word版%20.files/image465.gif)
理科數學Word版%20.files/image467.gif)
理科數學Word版%20.files/image455.gif)
理科數學Word版%20.files/image470.gif)
理科數學Word版%20.files/image472.gif)
理科數學Word版%20.files/image474.gif)
0
+
0
理科數學Word版%20.files/image474.gif)
理科數學Word版%20.files/image476.gif)
理科數學Word版%20.files/image478.gif)
極小值理科數學Word版%20.files/image480.gif)
理科數學Word版%20.files/image482.gif)
極大值理科數學Word版%20.files/image484.gif)
理科數學Word版%20.files/image478.gif)
所以
在
上為減函數、在
上為減函數;
在
上為增函數.
------------------------13分
綜上,當
時,
在
上是減函數;
當0<a<1時,
在
上為減函數、在
上為減函數;
在
上為增函數.
------------------------14分
19.(本小題滿分14分)
(Ⅰ)解:設A(x1, y1),
因為A為MN的中點,且M的縱坐標為3,N的縱坐標為0,
所以
,
---------------------------1分
又因為點A(x1, y1)在橢圓C上
所以
,即
,解得
,
則點A的坐標為
或
,
-------------------------3分
所以直線l的方程為
或
. --------------------------5分
(Ⅱ)解:設直線AB的方程為
或
,A(x1, y1),B(x2,
y2),
,
當AB的方程為
時,
,與題意不符. --------------------------6分
當AB的方程為
時:
由題設可得A、B的坐標是方程組
的解,
消去y得
,
所以
即
,
則
,
---------------------------8分
因為 理科數學Word版%20.files/image536.gif)
,
所以
,解得
,
所以
.
--------------------------10分
因為
,即
,
所以當
時,由
,得
,
上述方程無解,所以此時符合條件的直線
不存在;
--------------------11分
當
時,
,
,
因為點
在橢圓上,
所以理科數學Word版%20.files/image565.gif)
, -------------------------12分
化簡得
,
因為
,所以
,
則
.
綜上,實數
的取值范圍為
.
---------------------------14分
20.(本小題滿分14分)
(Ⅰ)解:由題意,創新數列為3,4,4,5,5的數列
有兩個,即:
(1)數列3,4,1,5,2; ---------------------------2分
(2)數列3,4,2,5,1. ---------------------------3分
注:寫出一個得2分,兩個寫全得3分.
(Ⅱ)答:存在數列
,它的創新數列為等差數列.
解:設數列
的創新數列為
,
因為
為
中的最大值.
所以
.
由題意知:
為
中最大值,
為
中最大值,
所以
,且
.
若
為等差數列,設其公差為d,則
,且
N, -----------------5分
當d=0時,
為常數列,又
,
所以數列
為
,此時數列
是首項為m的任意一個符合條件的數列;
當d=1時,因為理科數學Word版%20.files/image583.gif)
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