設.對于有窮數列(), 令為中的最大值.稱數列為的“創新數列 . 數列中不相等項的個數稱為的“創新階數 . 例如數列的創新數列為2,2,3,7,7.創新階數為3. 【查看更多】

21、設m＞3，對于有窮數列{a_n}（n=1，2，…，m）），令b_k為a₁，a₂，…a_k中的最大值，稱數列{b_n}為{a_n}的“創新數列”．數列{b_n}中不相等項的個數稱為{a_n}的“創新階數”．例如數列2，1，3，7，5的創新數列為2，2，3，7，7，創新階數為3．考察自然數1，2，…m（m＞3）的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數列{C_n}．
（1）若m=5，寫出創新數列為3，4，4，5，5的所有數列{C_n}；
（2）是否存在數列{C_n}，使它的創新數列為等差數列？若存在，求出所有的數{C_n}，若不存在，請說明理由．

設m＞3，對于有窮數列{a_n}（n=1，2，…，m），令b_k為a₁，a₂，…a_k中的最大值，稱數列{b_n}（為{a_n}的“創新數列”．數列{b_n}（中不相等項的個數稱為{a_n}的“創新階數”．例如數列2，1，3，7，5的創新數列為2，2，3，7，7，創新階數為3．考察自然數 1，2…m（m＞3）的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數列{c_n}．
（1）若m=5，寫出創新數列為3，4，4，5，5的所有數列{c_n}；
（2）是否存在數列{c_n}，使它的創新數列為等差數列？若存在，求出所有的數{c_n}，若不存在，請說明理由．

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設m＞3，對于有窮數列{a_n}（n=1，2，3…，m），令b_k為a₁，a₂…a_k中的最大值，稱數列{b_n}為{a_n}的“創新數列”．數{b_n}中不相等項的個數稱為{a_n}的“創新階數”．例如數列2，1，3，7，5的創新數列為2，2，3，7，7，創新階數為3．
考察自然數1，2…m（m＞3）的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數列{c_n}．
（Ⅰ）若m=5，寫出創新數列為3，4，4，5，5的所有數列{c_n}；
（Ⅱ）是否存在數列{c_n}，使它的創新數列為等差數列？若存在，求出所有的數列{c_n}，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）在創新階數為2的所有數列{c_n}中，求它們的首項的和．

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設m＞3，對于有窮數列{a_n}（n=1，2，…，m）），令b_k為a₁，a₂，…a_k中的最大值，稱數列{b_n}為{a_n}的“創新數列”．數列{b_n}中不相等項的個數稱為{a_n}的“創新階數”．例如數列2，1，3，7，5的創新數列為2，2，3，7，7，創新階數為3．考察自然數1，2，…m（m＞3）的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數列{C_n}．
（1）若m=5，寫出創新數列為3，4，4，5，5的所有數列{C_n}；
（2）是否存在數列{C_n}，使它的創新數列為等差數列？若存在，求出所有的數{C_n}，若不存在，請說明理由．

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(本小題12分)

設，對于有窮數列(…，), 令為…，中的最大值，稱數列為的“創新數列”. 數列中不相等項的個數稱為的“創新階數”. 例如數列的創新數列為2,2,3,7,7，創新階數為3.

考察自然數…，的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數列.

（Ⅰ）若, 寫出創新數列為3,4,4,5,5的所有數列；

(Ⅱ) 是否存在數列，使它的創新數列為等差數列？若存在，求出所有的數列，若不存在，請說明理由.

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高三數學試卷（理科） 2009.4

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

A

B

C

D

A

一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.

二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.

9. 10. 10，243 11. 12. 13. 24 14.

注：兩空的題目，第一個空3分，第二個空2分.

三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分.

15.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：記 “2次匯報活動都是由小組成員甲發言” 為事件A. -----------------------------1分

由題意，得事件A的概率，

即2次匯報活動都是由小組成員甲發言的概率為. ---------------------------5分

（Ⅱ）解：由題意，ξ的可能取值為2,0, ----------------------------6分

每次匯報時，男生被選為代表的概率為，女生被選為代表的概率為.

；；

所以，的分布列為：

2

0

P

---------------------------10分

的數學期望. ---------------------------12分

16.（本小題滿分12分）

（Ⅰ）解：由三角函數的定義，得點B的坐標為. ---------------------------1分

在中，|OB|=2，，

由正弦定理，得，即，

所以 . ---------------------------5分

注：僅寫出正弦定理，得3分. 若用直線AB方程求得也得分.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得， ------------------7分

因為，

所以， ----------------------------9分

又

， ---------------------------11分

所以. ---------------------------12分

17.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）證明：在中，，

，

，即， ---------------------------1分

，

平面. ---------------------------4分

（Ⅱ）方法一：

解：由（Ⅰ）知，

又，

平面， ---------------------------5分

如圖，過C作于M，連接BM，

是BM在平面PCD內的射影，

，

又

為二面角B-PD-C的平面角. ---------------------------7分

在中, , PC=1, ，

，

又，，

. ---------------8分

在中, , BC=1, ,

,

二面角B-PD-C的大小為. ---------------------------9分

方法二：

解：如圖，在平面ABCD內，以C為原點， CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，

則, ---------------------------5分

過C作于M，連接BM，設，

則，

，

； 1

共線，

， 2

由12，解得，

點的坐標為，，，

,

，

又，

為二面角B-PD-C的平面角. ---------------------------7分

，，

，

二面角B-PD-C的大小為. --------------------------9分

（Ⅲ）解：設點B到平面PAD的距離為h，

，，

平面ABCD，，

，

在直角梯形ABCD中，，

.

在中，，，

，

的面積， ---------------------------10分

三棱錐B-PAD的體積，

， ---------------------------12分

即，解得，

點B到平面PAD的距離為. ---------------------------14分

18.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：函數的定義域為， ---------------------------1分

. ---------------------------4分

因為，所以. ---------------------------5分

（Ⅱ）解：當時，因為，

所以，故在上是減函數； ------------------------7分

當a=0時，當時，，故在上是減函數，

當時，，故在上是減函數，

因為函數在上連續，

所以在上是減函數； ---------------------------9分

當0<a<1時，由, 得x=，或x=. --------------------------10分

x變化時，的變化如情況下表：

0

+

0

極小值

極大值

所以在上為減函數、在上為減函數；在上為增函數. ------------------------13分

綜上，當時，在上是減函數；

當0<a<1時，在上為減函數、在上為減函數；在上為增函數. ------------------------14分

19.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：設A(x₁, y₁)，

因為A為MN的中點，且M的縱坐標為3，N的縱坐標為0，

所以， ---------------------------1分

又因為點A(x₁, y₁)在橢圓C上

所以，即，解得，

則點A的坐標為或， -------------------------3分

所以直線l的方程為或. --------------------------5分

（Ⅱ）解：設直線AB的方程為或，A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，，

當AB的方程為時，，與題意不符. --------------------------6分

當AB的方程為時：

由題設可得A、B的坐標是方程組的解，

消去y得，

所以即，

則，

---------------------------8分

因為，

所以，解得，

所以. --------------------------10分

因為，即，

所以當時，由，得，

上述方程無解，所以此時符合條件的直線不存在； --------------------11分

當時，，，

因為點在橢圓上，

所以， -------------------------12分

化簡得，

因為，所以，

則.

綜上，實數的取值范圍為. ---------------------------14分

20.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）解：由題意，創新數列為3,4,4,5,5的數列有兩個，即：

（1）數列3，4，1，5，2； ---------------------------2分

（2）數列3，4，2，5，1. ---------------------------3分

注：寫出一個得2分，兩個寫全得3分.

（Ⅱ）答：存在數列，它的創新數列為等差數列.

解：設數列的創新數列為，

因為為中的最大值.

所以.

由題意知：為中最大值，為中最大值，

所以，且.

若為等差數列，設其公差為d，則，且N， -----------------5分

當d=0時，為常數列，又，

所以數列為，此時數列是首項為m的任意一個符合條件的數列；

當d=1時，因為

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