山東省都進中學2009屆高三年級第三次模擬考試
數學理科卷 2009.03
注意事項：
1．本試題分為第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時間為120分鐘．
2．答第Ⅰ卷前務必將自己的姓名、考號、考試科目涂寫在答題卡上．考試結束，試題
和答題卡一并收回．
3．第Ⅰ卷每題選出答案后，都必須用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號（ABCD）
涂黑，如需改動，必須先用橡皮擦干凈，再改涂其它答案．
第Ⅰ卷 （共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有
1．設復數
為實數時，則實數
的值是 （ ）
A．3
B．
D．
或5
2．函數
的零點個數為 （ ）
A．0 B．
3．若集合
，
，則
等于 （ ）
A．
B．
C．
D．{1}
4．設m<0，兩直線
與
垂直，則
的最大值為（ ）
A．-2 B．
5．運載“神州七號”宇宙飛船的火箭在點火第一分鐘通過的路程為
程增加
時間是 （ ）
A．10分鐘 B．12分鐘 C．15分鐘 D．18分鐘
6．在
的展開式中，
的冪的指數是整數的項共有 （ ）
A．3項 B．4項 C．5項 D．6項
7．已知函數
,若
則
的值是 （ ）
A．-4 B．
8．若函數
的圖象關于直線
對稱,則
的值是 （ ）
A．0 B．
C．
D．
9．把一顆骰子投擲兩次，觀察出現的點數，并記第一次出現的點數為a，第二次出現的點數
為b，設向量
則向量
與向量
垂直的概率為 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知變量
滿足
則
的最大值為 （ ）
A．4
B．
11．若一個正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個正三棱柱的表面積為 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．右圖是計算
的值算法框圖，
其中在判斷框中應填入的條件是 （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
把答案填在橫線上．
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．
13．已知
，若
則
.
14．在直角坐標系中，點A在圓
上，點B在直線
上，則
的最小
值為 .
15．已知
是水平放置的邊長為a的正三角形ABC的斜二測平面直觀圖，那么
的面積為
.
16．右圖是2008年“華東”杯第13屆CCTV青年歌手電視大獎賽上某位
選手得分的莖葉統計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據
的方差為 .
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）已知函數
．
（1）求
的最值；
（2）求的單調增區間.
18．（本小題滿分12分）如圖，四棱錐
中，底面
是直角梯形，
，
，
，側面
底面，且
為等腰直角三角
形，
，
為
的中點．
（1）求證：
；
（2）求證：
平面
；⑶求二面角
的正切值.
19、（本小題滿分12分）在一次考試中共有８道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有
且只有一個選項是正確的．評分標準規定：“每題只選一個選項，選對得5分，不選或
選錯得０分”．某考生已確定有4道題答案是正確的，其余題中：有兩道只能分別判斷2
個選項是錯誤的，有一道僅能判斷１個選項是錯誤的，還有一道因不理解題意只好亂猜，
求：
（1）該考生得40分的概率；
（2）該考生得多少分的可能性最大？⑶該考生所得分數的數學期望．
20．（本小題滿分12分）已知數列
中，
，
（
且
）.
（1）若數列
為等差數列，求實數
的值；
（2）求數列的前
項和
.
21．（本小題滿分12分）設函數
，其中
為常數．
（1）當
時，判斷函數在定義域上的單調性；
（2）若函數的有極值點，求的取值范圍及的極值點.
22．（本小題滿分14分）已知橢圓
的方程為 
，過其左焦點
，斜率為1的直線交橢圓于
兩點．
（1）若
與
＝（－3，1）共線，求橢圓C的方程；
（2）已知直線
：
，在上求一點
，使以橢圓的焦點為焦點且過點
的雙曲線
的實軸最長，求點的坐標和此雙曲線的方程。
參 考 答 案
一、選擇題
1．
解得
.
2．函數
與
的圖象有兩個交點,故有兩個零點.
3．集合
，集合
，
.
4．由
得
.
5．設這一過程大約需要t分鐘，火箭發射后每分鐘通過的路程分別為
一等差數列，根據等差數列求和公式得：
，即
，解
得：
.
6．
,故當
時,冪指數為整數,共5項.
7．由
，
.
.
8．由題知
，即選項D.
9．
，滿足條件的
有序實數對由（2，1），（4，2），（6，3），則垂
直的概率為
.
10．求目標函數
的最大值，如圖所示，可知
，所以
.
11．有三視圖可知該正三棱柱底面正三角形的高為
，棱柱高為2,可得底面邊長為4,從而
可求得棱柱的表面積.
12．此結構為直到型循環結構，當
時停止循環。
二、填空題
13．3 解析： 
.
14．
解析：圓心坐標為（0，1）到直線
的距離為
，圓的半徑為1,
故所求最小距離為.
15．
解析：
的高為
，所以面積為
.
16．
解析：根據方差計算公式可得.
三、解答題
17．
------------- 2分
--------------------4分
------------------------6分
（1）的最大值為
、最小值為
；---------------------- 8分
（2）由
， ----------- 10分
得
，
從而的單調增區間為
----------12分
18．解法一：(1)取
的中點
，連結
，
--------------2分
，且
，
是正三角形，
． ------ 3分
平面
． ---------------- 4分
（2）取
的中點
，聯結
，
分別為
的中點，
，且
----------- 6分
∵
且
，
且
．
∴四邊形
是平行四邊形
．
------------- 7分
平面
，
平面PCB,
平面 ----------------
8分
（3）取
的中點，聯結
∵四邊形
是直角梯形且，
，
,
又
,
平面
，
，
是二面角
的平面角． -------------10分
設
，則
;
、分別為
、
中點，
是等腰直角三角形
斜邊的中點，
-----------11分
，
∴二面角的正切值為
---------------12分
解法二：（1）同解法1;
（2）∵側面
底面，
又
，
底面
∴直線
兩兩互相垂直，故可以分別以直線為軸、
軸
和
軸建立如圖所示的空間直角坐標系
. -------5分
設
，則可求得
，則
.
設
,則
,
，
,
，即
----------6分
設
是平面
的法向量，則
且
,
取
，得
-----------------7分
是
的中點， 
,
------------8分
平面 平面
---------------9分
（3）
平面， 
是平面的法向量， ----------10分
------------11分
∴二面角的正切值為
------------12分
19．解：（1）設選對一道“可判斷２個選項是錯誤的”題目為事件A，“可判斷１個選項是錯誤
的”該題選對為事件B，“不能理解題意的”該題選對為事件C.則
------------2分
所以得４０分的概率
---------3分
（2）該考生得20分的概率
=
--------4分
該考生得25分的概率
=
-----------6分
該考生得30分的概率
=
=
-----------8分
該考生得35分的概率
=
∵
∴該考生得25分或30分的可能性最大------10分
（3）該考生所得分數的數學期望
=
---------12分
20．（1）因為（且），
所以
----------2分
顯然，當且僅當
，即
時，數列為等差數列；---5分
（2）由（1）的結論知：數列
是首項為
，公差為1的等差數列，
故有
，-------6分
即
（）--------7分
因此，有
，
,------9分
兩式相減，得
，-----10分
（）-----------------12分
21．（1）由題意知，的定義域為
，
--------- 2分
當
時， 
，函數在定義域上單調遞增 ------ 4分
（2）①當時，由（1）知函數在上單調，無極值點; -------5分
②當
時，
有兩個相同的解
，
時，
時，函數在
上無極值點 ----------- 6分
③當
時，
有兩個不同解:
---7分
若
，則
,此時隨在定義域上的變化情況如下表：
減
極小值
增
由表可知：有惟一極小值點
， -----9分
若
，則0<
<1，此時，，隨的變化情況如下表：
增
極大值
減
極小值
增
由表可知：有一個極大值點和一個極小值點
； -------11分
綜上所述：b的范圍是
.
時，有惟一最小值點
；
時，有一個極大值點
和一個極小值點
------ 12分
22．（1）將直線
的方程為：
代入
，可得：
；
令
則
---------2分
由
，
與=（－3，1）共線，得
∴
，
∴
，即
，∴
； --------- 4分
又
，∴
,所以橢圓C的方程為
;---6分
（2）橢圓的右焦點為
，
直線的方程為：，因為在雙曲線上，要雙曲線的實軸最長，只
須
最大， ----------------- 8分
設
關于直線的對稱點為
，則可求（
，－），
則直線
與直線的交點為所求，---------------------------------10分
易得直線：
，由
，得M（
，－
）；------ 12分
故雙曲線的長軸最長為：
，
∴
，又
，
，
故所求雙曲線方程為： 
.
----------- 14分
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