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2009年盛興中英文學校高三模擬考試

理科數學 2009年4月2日

一選擇題（每小題5分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．等差數列的前項和為，若，，則（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

2．“”是“”的（　　）

Ａ．充分而不必要條件Ｂ．必要而不充分條件

Ｃ．充要條件Ｄ．既不充分也不必要條件

3．.若一個底面為正三角形、側棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示，則這個棱柱的體積為

A B 36 C 24 D

4．設是非零向量，若函數的圖象是一條直線，則必有（

A． B． C． D．

5對，記函數的最小值是

（A）0 （B）（C）（D）3

6如圖，和分別是雙曲線

的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）

A． B． C． D．

7．若是互不相同的空間直線，是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是（　　）

Ａ．若，則Ｂ．若，則

Ｃ．若，則Ｄ．若，則

8．四位好朋友在一次聚會上，他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示，盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半．設剩余酒的高度從左到右依次為，，，，則它們的大小關系正確的是（　　）

Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．

二填空題（每小題5分，共20分；請把答案填在答題卡的相應橫線上）

9．的值為＿＿＿＿＿＿。

10 某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有＿＿＿＿＿種（用數字作答）。

11．在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些幾何形體是（寫出所有正確結論的編號）．

①矩形；②不是矩形的平行四邊形；

③有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；

④每個面都是等邊三角形的四面體；⑤每個面都是直角三角形的四面體．

12.如圖，是一個人出差從A城出發到B城去，沿途可能經

過的城市的示意圖，通過兩城市所需的時間標在兩城市之間的連線上（單位：小時），則此人從A城出發到達B城所需的最少時間為小時。

以下兩個小題中選做一題，三題都選的只計算前兩小題的得分

。

13（幾何證明選講選做題）已知圓的半徑為，

從圓外一點引切線和割線，圓心到

的距離為，，則切線的長為

____________．

14.在極坐標系中，圓心在且過極點的圓的方程為

15、已知都是正數，且則的最小值是

三解答題

16如圖，函數其中()的圖象與軸交于點（0，1）

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）設是圖象上的最高點，M，N是圖象與軸的交點，求與的夾角。

17．（本小題滿分12分）

在生產過程中，測得纖維產品的纖度（表示纖維粗細的一種量）共有100個數據，將數據分組如右表：

（I）在答題卡上完成頻率分布表，并在給定的坐標系中畫出頻率分布直方圖；

分組

頻數

頻率

0.04

0.25

0.30

0.29

0.10

0.02

合計

100

1.00

（II）估計纖度落在中的概率及纖度小于的概率是多少？

（III）統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值

（例如區間的中點值是）

作為代表．據此，估計纖度的期望．

18. 設函數f（x）=ax³+bx+c（a≠0）為奇函數，其圖象在點（1,f（1））處的切線與直線x－6y－7=0垂直，導函數f＇（x）的最小值為－12.

（Ⅰ）求a，b，c的值；

（Ⅱ）求函數f（x）的單調遞增區間，并求函數f（x）在〔－1,3〕上的最大值和最小值.

19 如圖，三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D為AC的中點.

　（Ⅱ）求二面角C₁―BD―C的余弦值；

（Ⅲ）在側棱AA₁上是否存在點P，使得

CP⊥面BDC₁？并證明你的結論.

20 如圖，矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為點在邊所在直線上．

（I）求邊所在直線的方程；

（II）求矩形外接圓的方程；

（III）若動圓過點，且與矩形的外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程．

21 已知函數f（x）=x²－4，設曲線y＝f（x）在點（x_n，f（x_n））處的切線與x軸的交點為（x_n₊₁,u）（u,N ⁺），其中為正實數.

（Ⅰ）用x_x表示x_n₊₁；

（Ⅱ）若a₁=4，記a_n=lg，證明數列｛a₁｝成等比數列，并求數列｛x_n｝的通項公式；

（Ⅲ）若x₁＝4，b_n＝x_n－2，T_n是數列｛b_n｝的前n項和，證明T_n<3.

2009年高三第二學期模擬考試理科數學 da an

一 CAAAC CDA

二 9 10 11 ①③④⑤ 12 48

13 14 15 12

三解答：

（16）本題主要考查三角函數的圖象，已知三角函數值求角，向量夾角的計算等基礎知識和基本的運算能力。

滿分14分。

解：（Ⅰ）因為函數圖象過點（0，1）

所以 ,即 

因為所以.

（Ⅱ）由函數及其圖象，得

所以從而

17．本小題主要考查頻率分布直方圖、概率、期望等概念和用樣本頻率估計總體分布的統計方法，考查運用概率統計知識解決實際問題的能力．

解：（Ⅰ）

（Ⅱ）纖度落在中的概率約為，纖度小于1.40的概率約為．

（Ⅲ）總體數據的期望約為

18 （Ⅰ）∵為奇函數，

∴

即

∴

∵的最小值為

∴

又直線的斜率為

因此，

∴，，．

（Ⅱ）．

　　　，列表如下：

極大

極小

　　　所以函數的單調增區間是和

∵，，

∴在上的最大值是，最小值是．

20解：（I）因為邊所在直線的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為．

又因為點在直線上，

所以邊所在直線的方程為．

．

（II）由解得點的坐標為，

因為矩形兩條對角線的交點為．

所以為矩形外接圓的圓心．

又．

從而矩形外接圓的方程為．

（III）因為動圓過點，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，

所以，

即．

故點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的左支．

因為實半軸長，半焦距．

所以虛半軸長．

從而動圓的圓心的軌跡方程為

21（Ⅰ）由題可得．

所以曲線在點處的切線方程是：．

即．

令，得．

即．

顯然，∴．

（Ⅱ）由，知，同理．

　　　故．

從而，即．所以，數列成等比數列．

故．

即．

從而

所以

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

∴

當時，顯然．

當時，

∴

．

　　　綜上，．

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