高三數學一�？荚囋囶}（理科）
山東省聊城一中 郵編252000 王樹青 適合高三年級人教A或B版皆可
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第Ⅰ卷（共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項中，選擇一個符合題目要求的選項.
1.給定下列結論：
①已知命題p：
；命題q：
則命題“
”是假命題；
②“命題
為真”是“命題
為真”的必要不充分條件；
③命題“所有的正方形都是矩形”的否定是“所有的正方形都不是矩形”；
④函數
與函數
互為反函數.
正確的個數是 （ ）
A．1 B．
2.已知
（其中
為虛數單位），
，
則以下關系中正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.給出下列四個命題，其中正確的一個是（ ）
A．在線性回歸模型中，相關指數
，說明預報變量對解釋變量的貢獻率是
B．在獨立性檢驗時，兩個變量的
列聯表中對角線上數據的乘積相差越大，說明這兩個變量沒有關系成立的可能性就越大
C．相關指數R2用來刻畫回歸效果，R2越小，則殘差平方和越大，模型的擬合效果越差
D．隨機誤差e是衡量預報精確度的一個量，它滿足E（e）=0
4.如果執行右面的程序框圖，那么輸出的
（ ）
A．1
B．
C．
D．
5. 若
，則函數
上恰好有（ ）
A．0個零點 B．1個零點 C．2個零點 D．3個零點
6.如圖是一個幾何體的三示圖，該幾何體的體積是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在
中，已知向量
，
，則的面積等于（ ）
A．
B．
C．
D．
8．
是
的任一排列，
是
到的一一映射，且滿足
，記數表
.若數表
的對應位置上至少有一個不同，就說是兩張不同的數表。則滿足條件的不同的數表的張數為（ ）
A．144 B．
9．兩個正數a、b的等差中項是5，等比中項是4。若a＞b，則雙曲線
的離心率e等于
（
）
A．
B．
C． 
D．
10. 已知在平面直角坐標系中，
，動點
滿足條件
, 則
的最大值為（ ）
A．-1
B．
11. 一支足球隊每場比賽獲勝（得3分）的概率為
，與對手踢平（得1分）的概率為
，負于對手（得0分）的概率為
，已知該足球隊進行一場比賽得分的期望是1，則
的最小值為（ ）
A．
B．
C．
D．
12． 已知函數
， 定義在
上的奇函數
，當
時
，則函數
的大致圖象為 （ ）
 |
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分. 答案填在題中橫線上.
13．類比在平面幾何中關于角的命題“如果一個角的兩條邊與另一個角的兩條邊分別垂直，則這兩個角相等或互補”，寫出在空間中關于二面角相應的一個命題 ；該命題是 命題（填“真”或“假”）.
14．在△ABC中，已知
，則∠B的對邊b等于
.
15．已知拋物線
，過點
的直線與拋物線相交于
,
,
.
16. 電視機的使用壽命顯像管開關的次數有關.某品牌電視機的顯像管開關了10000次還能繼續使用的概率是0.96，開關了15000次后還能繼續使用的概率是0.80，則已經開關了10000次的電視機顯像管還能繼續使用到15000次的概率是 .
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出相應的文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）
設函數
（Ⅰ）寫出函數
的最小正周期及單調遞減區間；
（II）當
時，函數的最大值與最小值的和為
，的圖象、
軸的正半軸及
軸的正半軸三者圍成圖形的面積.
18．（本題滿分12分）
某校有一貧困學生因病需手術治療，但現在還差手術費
萬元，團委計劃在全校開展愛心募捐活動，為了增加活動的趣味性吸引更多學生參與，特舉辦“搖獎100%中獎”活動.凡捐款10元者，享受一次搖獎機會，如圖是搖獎機的結構示意圖，搖獎機的旋轉盤是均勻的，扇形區域
所對應的圓心角的比值分別為1：2：3：4：5.相應區域分別設立一、二、三、四、五等獎，獎品分別為價值分別為5元、4元、3元、2元、1元的學習用品.搖獎時，轉動圓盤片刻，待停止后，固定指針指向哪個區域（邊線忽略不計）即可獲得相應價值的學習用品（如圖指針指向區域
，可獲得價值3元的學習用品）.
（Ⅰ）
預計全校捐款10元者將會達到1500人次，那么除去
購買學習用品的款項后，剩余款項是否能幫助該生完成手術治療？
（II）如果學生甲捐款20元，獲得了兩次搖獎機會，求他獲得價
值6元的學習用品的概率.
19．（本小題滿分12分）
如圖，在四棱臺ABCD―A1B
為2的正方形，上底A1B
側棱DD1⊥平面ABCD，DD1=2.
（Ⅰ）求證：
平面
；
（II）（理）求二面角
的余弦值.
（文）求證：平面⊥平面B1BDD1.
20．（本小題滿分12分）
過點
作曲線
的切線，切點為
，設在軸上的投影是點
；又過點作曲線
的切線，切點為
，設在軸上的投影是點
；
依此下去，得到一系列點，，
；設它們的橫坐標
構成數列為
.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（II）求證：
；
（III）當
時，令
求數列
的前
項和
.
21．（本題滿分12分）
設
.
（Ⅰ）確定的值，使的極小值為0；
（II）證明：當且僅當
時，的極大值為3.
22.（本小題滿分12分）
已知橢圓
：
的離心率為
，直線
與以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓
相切。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（II）設橢圓的左焦點為
，右焦點為
，直線
過點且垂直于橢圓的長軸，動直線
垂直于，垂足為點
，線段
的垂直平分線交于點
，求點的軌跡
的方程；
（III）設與軸交于點
，不同的兩點
在上，且滿足
，求
的取值范圍。
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項中，選擇一個符合題目要求的選項.
（1）C （2）B （3）D （4）C （5）B （6）B
（7）A （8）C （9）B （10）D （11）A （12）B
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分. 答案填在題中橫線上.
13. 如果一個二面角的兩個面與另一個二面角的兩個面分別垂直，則這兩個二面角相等或互補 假
14.
15. 0
16.
三、解答題：本大題共6小題，共74分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）
………2分
………4分
………6分
（II）
………8分
的圖象與x軸正半軸的第一個交點為
………10分
所以的圖象、y軸的正半軸及x軸的正半軸三者圍成圖形的面積
=
…12分
18．（本題滿分12分）
解：（Ⅰ）設搖獎一次，獲得一、二、三、四、五等獎的事件分別記為
.
則其概率分別為
……3分
設搖獎一次支出的學習用品相應的款項為
，則的分布列為：
1
2
3
4
5
.………6分
若捐款10元者達到1500人次，那么購買學習用品的款項為
（元）,
除去購買學習用品的款項后，剩余款項為
（元）,
故剩余款項可以幫助該生完成手術治療. ………8分
（II）記事件“學生甲捐款20元獲得價值6元的學習用品”為
，則
.
即學生甲捐款20元獲得價值6元的學習用品的概率為
………12分
19．（本小題滿分12分）
以D為原點，以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸，z軸建立空間直角坐標系D―xyz如圖，則有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）. … 3分
（Ⅰ）證明：設
則有
所以
，
，∴
平面
；………6分
（II）解：
設
為平面
的法向量，
于是
………8分
同理可以求得平面的一個法向量
，………10分
∴二面角
的余弦值為. ………12分
20．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）對
求導數，得
，切點是
的切線方程是
.…2分
當
時，切線過點
，即
，得
;
當
時，切線過點
，即
，得
.
所以數列
是首項，公比為
的等比數列，
所以數列的通項公式為
.………4分(文………6分)
（II）應用二項式定理，得
………8分
（III）
當
時，
數列
的前
項和
=
同乘以
，得
=
兩式相減，………10分（文………8分）
得=
，
所以=
.………12分
21．（本題滿分12分）
解：（Ⅰ）由于
所以
………2分
令
,
當a=2時，
所以2－a≠0.
① 當2－a>0，即a<2時，
的變化情況如下表1：
x
0
(0,2－a)
2－a
(2－a,+∞)
－
0
+
0
－
ㄋ
極小值
ㄊ
極大值
ㄋ
此時應有f(0)=0，所以a=0<2；
②當2－a<0，即a>2時，的變化情況如下表2：
x
2－a
(2－a,0)
0
(0,+∞)
－
0
+
0
－
ㄋ
極小值
ㄊ
極大值
ㄋ
此時應有
而
綜上可知，當a=0或4時，的極小值為0. ………6分
（II）若a<2，則由表1可知，應有
也就是
設
由于a<2得 
所以方程 
無解. ………8分
若a>2，則由表2可知，應有f(0)=3，即a=3. ………10分
綜上可知，當且僅當a=3時，f(x)的極大值為3. ………12分
22.（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）由
得，
；……4分
由直線
與圓
相切，得
，所以，
。所以橢圓的方程是
.……4分
（II）由條件知，
，即動點
到定點
的距離等于它到直線
：
的距離，由拋物線的定義得點的軌跡
的方程是
. ……8分
（III）由（2）知
，設
，
，所以
，
.
由
，得
.因為
，化簡得
，……10分
（當且僅當
，即
時等號成立）. ……12分
，又
所以當
，即
時，
，故
的取值范圍是
.……14分
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