絕密★啟用前（命題人：鄢文俊 劉學勇）
湖北省荊州中學2009屆高三5月模擬考試
數 學（理工農醫類）
說明：本試卷共4面，滿分150分，考試時間120分鐘
第 Ⅰ 卷（共50分）
一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.已知集合
,則
( )
A.
B.
C.
D. 
2.設復數
，則復數
在復平面內對應的點位于( )
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知等差數列
的前n項和為
,且滿足
,則
等于( )
A.
B.
C.1
D.2
4.某高三年級的三個班級去甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案是 ( )
A. 16種 B. 18種 C. 37種 D. 48種
5.若函數
的圖象向右平移
(
)個單位后，所得到的圖象關于y軸對稱，則的最小值為(
)
A.
B.
C.
D.
6.函數
的圖象與函數
的圖象有三個不相同的交點，則實數
的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.如果把直線
向左平移1 個單位，再向下平移2個單位，便與圓
相切，則實數
的值是（ ）
A.13或3
B.13或
8.已知點P是橢圓
上的動點,
為橢圓的兩個焦點，
是坐標原點,若
是
的角平分線上一點,且
,則
的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 正四面體A―BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得
，設
，
與
分別表示EF與AC，BD所成的角，則（ ）
A.
是（0，+∞）上的增函數
B.是（0，+∞）上的減函數
C.在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減
D.是（0，+∞）上的常數函數
10. 定義在
上的函數
滿足
，現給定下列幾個命題：
①不可能是奇函數；②
；③不可能是常數函數；④若
，則不存在常數，使得
成立．在上述命題中錯誤命題的個數為 （ ）
A. 1
B.
第 Ⅱ 卷（非選擇題 共100分）
二、填空題：（本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡相應位置上.）
11．已知方程
表示橢圓，則的取值范圍為 ．
12．將函數
向右平移一個單位后是一個偶函數，則
的單調遞減區間為
．
13．已知
是數列中的三個非負項，則
的最小值為
．
14．函數
（
）是常數，其圖象是一條直線，稱這個函數為線性函數.而對于非線性可導函數
，在已知點
附近一點
的函數值，可以用如下方法求其近似代替值：
.利用這一方法，對于實數
，取
，則
的近似代替值
．（填“>”或“<”或“=”）
15．如右圖所示的
的數表，滿足每一行都是公差
為
的等差數列，每一列都是公比為
的等比數列．
已知
，則
．
三、解答題：（本大題共6小題，共75分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
16.（本題滿分12分）
已知向量
，函數
.
（1）將f(x)寫成
的形式，并求其圖象的對稱中心；
（2）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的取值范圍及此時函數f(x)的值域.
17．（本題滿分12分）現從放有標號分別為數字1、2、3、4、5的5 張卡片的盒子中，有放回地先后取兩張卡片，設兩卡片的標號分別為
，且設
．
（1）求隨機變量
的最大值，并求取得此最大值的概率；
（2）求隨機變量的分布列及其方差．
18．（本題滿分12分）如圖，四面體
的各個面都是直角三角形，已知
,
,
．
（1）若
，求證：
；
（2）求四面體的表面積．
19．（本題滿分13分）自然狀態下的魚類是一種可再生資源，為持續利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響. 用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N*，且x1＞0. 不考慮其它因素，設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數依次為正常數a，b，c.
（Ⅰ）求xn+1與xn的關系式；
（Ⅱ）猜測：當且僅當x1，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）
（Ⅲ）設a＝2，c＝1，為保證對任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，則捕撈強度b的最大允許值是多少？證明你的結論.
20.（本題滿分13分）雙曲線C與橢圓
有相同的焦點，直線y=
為C的一條漸近線.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點P(0,4)的直線
，交雙曲線C于A,B兩點，交x軸于Q點（Q點與C的頂點不重合）.當
，且
時，求Q點的坐標.
21.（本題滿分13分）已知函數
，
（1）試確定的單調性；
（2）數列滿足
，且
，表示的前
項之和
①求數列的通項； ②求證：
.
‘
2009年普通高等學校招生全國統一考試（荊中模擬卷）
1～10：C C B C A B A B D A
11、
12、
13、 
14、>
15、
（提示：15.
，又
）
16.解：（1）
………3（分）
由
=0即
即對稱中心為
…………6（分）
（2）已知b2=ac
即
的值域為
綜上所述，
，故值域為…12（分）
17．解：（1）
的最大值為6，此時有
或
，故所求的概率為
.
…………5（分）
（2）
的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，6.其分布列為：
0
1
2
3
4
5
6
……………10（分）
……12（分）
18.解：（1）
，
又
…………5（分）
（2）當
時，則
其表面積
當
與
不垂直時，則
，否則由（1）知，可得（矛盾）.
當
時，
與
不能垂直，否則
，從而
，與
矛盾.
，從而可得
…………①
由得，
…………②
根據①、②得：
，從而導致
矛盾.
，從而得到
當時，
當時，
，即四面體的各個面是全等的三角形.
其表面積為
.
……………12（分）
19.解：（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為
…………（3分）
（II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1， n∈N*，從而由（*）式得
因為x1>0，所以a>b.
猜測：當且僅當a>b，且
時，每年年初魚群的總量保持不變.
……（6分）
（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*， 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知0<xn<3－b, n∈N*, 特別地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1，而x1∈(0, 2)，所以
由此猜測b的最大允許值是1. ……………（10分）
下證 當x1∈(0, 2) ，b=1時，都有xn∈(0, 2), n∈N*
①當n=1時，結論顯然成立.
②假設當n=k時結論成立，即xk∈(0, 2),則當n=k+1時，xk+1=xk(2－xk)>0.
又因為xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,所以xk+1∈(0, 2)，故當n=k+1時結論也成立.
由①、②可知，對于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).
綜上所述，為保證對任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，則捕撈強度b最大允許值是1.…（13分）
20. 解：(1)設雙曲線方程為
，由橢圓
求得兩焦點為
，
對于雙曲線
，又
為雙曲線
的一條漸近線
解得 
，
雙曲線的方程為
……………（5分）
(2)解法一：
由題意知直線
的斜率
存在且不等于零。
設的方程：
，
則
在雙曲線上，
同理有：
若
則直線過頂點，不合題意.
是二次方程
的兩根.
，
此時
.所求
的坐標為
.
…………（13分）
解法二：由題意知直線的斜率存在且不等于零
設的方程：
，則.
，
.
，
，
，
又
，
，即
將
代入得
，否則與漸近線平行。
。
.
21.（1）
故
在
上是單調遞增函數，在
上是單調遞減函數
……4（分）
（2）①
是公差為1的等差數列，且首項為
故
……………9（分）
②由（1）知，當
時，
在
是單調遞減函數，又
，
，即
.
………13（分）
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