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第二節  三角形的概念和全等三角形

 

【回顧與思考】

  三角形

 

【例題經典】

 

三角形內角和定理的證明

例1.如圖所示,把圖(1)中的∠1撕下來,拼成如圖(2)所示的圖形,從中你能得到什么結論?請你證明你所得到的結論.

    點證:此題是讓學生動手拼接,把∠1移至∠2,已知a∥b,根據兩直線平行,同旁內角互補,得到“三角形三內角的和等于180°”的結論,由于此題剪拼的方法很多,證明的方法也很多,注意對學生的引導.

 

探索三角形全等的條件

文本框:  例2.如圖所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,給出下列結論:

    ①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.

其中正確的結論是_________.

解析:由∠E=∠F,∠B=∠C,AE=AF

可判定△AEB≌△AFC,從而得∠EAB=∠FAC.

∴∠1=∠2,又可證出△AEM≌△AFN.

依此類推得①、②、③

    點評:注意已知條件與隱含條件相結合.

文本框:

全等三角形的應用

例3.(2006年重慶市)如圖所示,A、D、F、B在同一直線上,AD=BF,AE=BC,且AE∥BC.

求證:(1)△AEF≌△BCD;(2)EF∥CD.

   【解析】(1)因為AE∥BC,所以∠A=∠B.又因AD=BF,所以AF=AD+DF=BF+FD=BD,又因AE=BC,所以△AEF≌△BCD.

    (2)因為△AEF≌△BCD,所以∠EFA=∠CDB,所以EF∥CD.

    【點評】根據平行尋求全等的條件,由三角形全等的性質證兩直線平行.

 

【考點精練】

一、基礎訓練

1.如圖1所示,若△OAD≌△OBC,且∠O=65°,∠C=20°,則∠OAD=_______.

試題詳情

             

          (1)                  (2)                      (3)

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2.如圖2,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=8cm,BD=5cm,那么D點到直線AB的距離是_______cm.

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3.如圖3,AD、AF分別是△ABC的高和角平分線,已知∠B=36°,∠C=76°,則∠DAF=______度.

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4.(2006年煙臺市)如圖4,∠A=65°,∠B=75°,將紙片的一角折疊,使點C落在△ABC內,若∠1=20°,則∠2的度數為______.

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          (4)                     (5)                    (6)

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5.如圖5,已知CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為D、E,BE、CD交于點O,且AO平分∠BAC,那么圖中全等三角形共有________對.

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6.(2006年河南省)如圖6,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC邊的中點,E是AB邊上一動點,則EC+ED的最小值是________.

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7.以下列各組線段長為邊,能組成三角形的是(  )

    A.1cm2cm4cm              B.8cm6cm4cm

    C.12cm5cm6cm             D.2cm3cm6cm

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8.(2006年紹興市)若有一條公共邊的兩個三角形稱為一對“共邊三角形”,則圖中以BC為公共邊的“共邊三角形”有(  )

    A.2對       B.3對       C.4對        D.6對

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               (7)                      (8)                     (9)

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9.(2006年德陽市)已知△ABC的三邊長分別為20cm50cm60cm,現要利用長度分別為30cm60cm的細木條各一根,做一個三角形木架與△ABC相似.要求以其中一根為一邊,將另一根截成兩段(允許有余料)作為另外兩邊.那么另外兩邊的長度(單位:cm)分別為(  )

    A.10,25                 B.10,36或12,36

    C.12,36                 D.10,25或12,36

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10.(2005年黃岡市)如圖所示,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的頂點P是BC中點,兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F,給出以下四個結論:①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形;③S四邊形AEPF=SABC;④EF=AP.當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時(點E不與A、B重合),上述結論中始終正確的有(  )

    A.①④     B.①②     C.①②③    D.①②③④

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二、能力提升

11.已知:如圖,點C、D在線段AB上,PC=PD.請你添加一個條件,使圖中存在全等三角形,并給予證明.所添條件為________.你得到的一對全等三角形是△_______≌△________.

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12.已知:如圖,△ABC是等邊三角形,過AB邊上的點D作DG∥BC,交AC于點G,在GD的延長線上取點E,使DE=DB,連結AE、CD.

    (1)求證:△AGE≌△DAC;

(2)過點E作EF∥DC,交BC于點F,請你連結AF,并判斷△AEF是怎樣的三角形,試證明你的結論.

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13.(2005年大連市)如圖,AB∥CD,AB=CD,點B、E、F、D在一條直線上,∠A=∠C,

求證:AE=CF.(說明:證明過程中要寫出每步的證明依據).

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14.(2006年內江市)如圖,在△ABD和△ACE中,有下列四個等式:

    ①AB=AC  ②AD=AE  ③∠1=∠2  ④BD=CE.

請你以其中三個等式作為題設,余下的作為結論,寫出一個真命題(要求寫出已知,求證及證明過程)

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三、應用與探究

15.(2006年浙江省)如圖,△ABC與△ABD中,AD與BC相交于O點,∠1=∠2,請你添加一個條件(不再添加其它線段,不再標注或使用其他字母),使AC=BD,并給出證明.

    你添加的條件是:__________.

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答案:

考點精練 

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1.95°  2.3  3.20°  4.60°  5.4對  6. 

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7.B  8.B  9.D  10.C 

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11.答案不唯一,比如:∠A=∠B,△PAC≌△PBD 

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12.(1)證略  (2)連接AF,則△AEF是等邊三角形.證略 

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13.∵AB∥CD,AB=CD,∠A=∠C,

∴△ABE≌△CDF(ASA),

∴AE=CF(全等三角形對應邊相等) 

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14.①②③為題設④為結論,證略 

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15.∠C=∠D,證略.

 

 

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