2009年廈門市高中畢業班適應性考試數學（理科）試卷
注意事項：
1.本科考試分試題卷和答題卷，考生須在答題卷上作答，答題前，請在答題卷的密封線內填寫學校、班級、學號、姓名；
2.本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.
參考公式：
柱體體積公式：
，其中
為底面面積、
為高；
錐體體積公式：
，其中為底面面積，為高；
獨立性檢驗隨機變量
臨界值表
0.50
0.40
0.25
0.16
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
第Ⅰ卷 （選擇題 共50分）
一.選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題所給的四個答案中有且只有一個答案是正確的）
1．如果復數
的實部和虛部相等，則實數
的值是
A．
B．
C．
D．
2．已知a>0，命題
，則
．
是假命題，
：
．是假命題，：
．是真命題，：
．是真命題，：
3．積分
的值是
A. 1 B. e C. e+1 D. e2
4．執行右邊的程序框圖，若輸出y的值為2，則輸入的x應該是
A．或
B．或
C． D．或
5．點P滿足向量
=2
-
,則點P與AB的位置關系是
A. 點P在線段AB上 B. 點P在線段AB延長線上
C. 點P在線段AB反向延長線上 D. 點P在直線AB外
6．函數f(x)=
的圖象大致是
7．為了了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關系，某研究機構隨機選取了60名高中生，通過問卷調查，得到以下數據：
作文成績優秀
作文成績一般
合 計
課外閱讀量較大
22
10
32
課外閱讀量一般
8
20
28
合 計
30
30
60
由以上數據，計算得出
．根據臨界值表，以下說法正確的是
A．沒有充足的理由認為課外閱讀量大與作文成績優秀有關
B. 有0.5%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優秀有關
C．有99.9%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優秀有關
D．有99.5%的把握認為課外閱讀量大與作文成績優秀有關
8．如圖，已知三棱柱ABC-
的所有棱長均為1，且A
A．
B． 
C． 
D．
9．函數
，給出下列四個命題
（1）函數在區間
上是減函數；
（2）直線
是函數圖象的一條對稱軸；
（3）函數
的圖象可由函數
的圖象向左平移
而得到；
（4）若 
，則 的值域是
其中正確命題的個數是
A．1
B．
10．學習合情推理后，甲、乙兩位同學各舉一個例子.
甲:由“若三角形周長為l,面積為S,則其內切圓半徑r =
”類比可得“若三棱錐表面積為S,體積為V,則其內切球半徑r =
”;
乙: 由“若直角三角形兩直角邊長分別為a、b,則其外接圓半徑r =
” 類比可得“若三棱錐三條側棱兩兩垂直, 側棱長分別為a、b、c,則其外接球半徑r =
”.這兩位同學類比得出的結論
A.兩人都對 B.甲錯、乙對 C. 甲對、乙錯 D. 兩人都錯
第Ⅱ卷 （非選擇題 共100分）
二．填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分，將答案填在題后的橫線上．）
11．已知等比數列
各項均為正數,前
項和為
，若
，
．
則
▲▲▲ ．
12．
的展開式中常數項是
▲▲▲ ．
13．設滿足
的點
構成的區域為D，又知區域D內的每一個點都在區域M內．為了測算區域M的面積，向區域M內隨機拋入10000個質點，經統計，落在區域D內的質點有2500個，則區域M的面積大約是
▲▲▲
．
14．設F為拋物線
的焦點，點A在拋物線上，O為坐標原點，若
，且
，則拋物線的焦點到準線的距離等于 ▲▲▲ .
15．如果一個自然數，我們可以把它寫成若干個連續自然數之和，則稱為自然數的一個“分拆”．如
，我們就說“
”與“
”是
的兩個“分拆”．請寫出
的三個“分拆”：= ▲▲▲
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16. （本小題滿分13分）
從某高校新生中隨機抽取100名學生，測得身高情況如下表所示.
（I）請在頻率分布表中的①、②位置填上相應的數據，并在所給的坐標系中補全頻率分布直方圖，再根據頻率分布直方圖估計眾數的值；
（II）按身高分層抽樣，現已抽取20人參加廈門國際馬拉松志愿者活動，其中有3名學生擔任迎賓工作，記這3名學生中“身高低于
分組
頻數
頻率
5
0.050
①
0.200
35
②
30
0.300
10
0.100
合計
100
1.00
 |
17. （本小題滿分13分）
已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示, 其正視圖為矩形,側視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.
(Ⅰ)證明：BN⊥平面C1B1N；
(Ⅱ)設二面角C－NB1－C1的平面角為
，求cos的值；
(Ⅲ)M為AB中點，在CB上是否存在一點P，使得MP∥平面CNB1，若存在，求出BP的長;若不存在，請說明理由.
 |
|||
 |
|||
18. （本小題滿分13分）
某航模興趣小組的同學，為了測定在湖面上航模航行的速度，采用如下辦法：在岸邊設置兩個觀察點A、B ，且 AB =
19. （本小題滿分13分）
在平面直角坐標系xOy中，已知點A(-2, 0)、B(2, 0), 動點C滿足條件：△ABC的周長為10, 記動點C的軌跡為曲線M.
(Ⅰ) 求曲線M的方程；
(Ⅱ) 若直線l與曲線M相交于E、F兩點，若以EF為直徑的圓過點D(3，0)，求證：直線
恒過定點，并求出該定點的坐標．
20. （本小題滿分14分）
設函數f(x)=
+
(
).
(Ⅰ)若函數f(x)在x=1處有極值, 且函數g(x)=f(x)+b在(0,+∞)上有零點，求b的最大值；
(Ⅱ)若f(x)在(1，2)上為單調函數，求實數a的取值范圍；
(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下，數列{an}中a1=1， an+1= f(an)- f '(an). 求|an+1-an|的最小值.
21.本題有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分. 如果多做，則按所做的前兩題計分.作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中
（1）（本小題滿分7分）選修4―2：矩陣與變換
已知矩陣
的一個特征根為
,屬于它的一個特征向量
.
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）點P(1, 1)經過矩陣M所對應的變換,得到點Q，求點Q的坐標.
（2）（本小題滿分7分）選修4―4：坐標系與參數方程
已知曲線C的極坐標方程是
，設直線l的參數方程是
（t為
參數）．判斷直線l和曲線C的位置關系．
（3）（本小題滿分7分）選修4―5：不等式選講
已知
≤1的解集為
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
求證：
.
2009年廈門市高中畢業班適應性考試
一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算. 每題5分，滿分50分.
1. B 2.A 3.D 4.D 5.C 6.B 7.D 8.A 9.B 10.C
二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算. 每題4分，滿分20分.
11. 31 12. 15 13. 16 14. 4
15. 16+17+18+19=12+13+14+15+16=7+8+9+10+11+12+13.
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16．本題主要考查頻率分布表、直方圖、眾數、分層抽樣、分布列、期望等統計概率知識，考查學生運用所學知識解決實際應用問題的能力。滿分13分.
解：（I）①處填20，②處填0.35；
眾數為
補全頻率分布直方圖如圖所示。
…………6分
（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從中選
取20人,則其中“身高低于
的有5人，“身高不低于
的有15人。 ……7分
故ξ的可能取值為0，1，2，3；
…………………10分
所以ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
…………11分
所以：
…………13分
17. 本題主要考查三視圖,線面位置關系，二面角的求法等基本知識，考查空間想像能力，探索運算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.
法一:(Ⅰ)證明∵該幾何體的正視圖為矩形,側視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形,
∴BA,BC,BB1兩兩垂直.
以BA,BC,BB1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,……1分
則N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4)
∵
=(4,4,0)?(-4,4,0)=-16+16=0
=(4,4,0)?(0,0,4)=0
……3分
∴BN⊥NB1, BN⊥B
∴BN⊥平面C1B1N; ……4分
(Ⅱ)∵BN⊥平面C1B1N, 
是平面C1B1N的一個法向量
=(4,4,0),
……5分
設
=(x,y,z)為平面NCB1的一個法向量,
則
，取=(1,1,2), …7分
則cosθ=
=
=
;
……9分
(Ⅲ)∵M(2,0,0).設P(0,0,a)為BC上一點,則
=(-2,0,a)，∵MP∥平面CNB1,
∴⊥?=(-2,0,a) ?(1,1,2)=-2+ a
又MP
平面CNB1, ∴MP∥平面CNB1, ∴當BP=1時MP∥平面CNB1. ……13分
法二:(Ⅰ)證明:由已知得B
BN=4
= B1N,BB1=8, ∴BB12= BN2+ B1N2, ∴BN⊥B1N
又B
(Ⅱ)過N作NQ
B
BCQN,又BN⊥平面C1B1N,
∴CQ⊥平面C1B1N,則CQ⊥B1N, QN⊥B1N ,∴∠CNQ是二面角C-B1N-Q的平面角θ,
在Rt△CNQ中,NQ=4,CQ=4, ∴CN=4,cosθ=
=;
(Ⅲ)延長BA、B1N交于R,連結CR,∵MP∥平面CNB1,
MP
平面CBR, 平面CBR∩平面CRN于CR,
∴MP∥CR, △RB1B中AN
BB1,∴A為RB中點,
∴
=
=
,∴BP=1,因此存在P點使MP∥平面CNB1.
……………13分
18.本題主要考查學生運用正弦和余弦定理解決與三角形有關的實際問題的能力，考查學生的運算能力以及化歸與轉化的數學思想方法。滿分13分.
法一:1、在△ABC中,∵∠BAD=90°,∠ABD=45°,∴∠ADB=45°…2分
……………………4分
在
中，
……………6分
在
中，DC2=DB2+BC2-2DB?BCcos60°=(80)2+(40)2-2×80×40×
=9600 ……………10分
………………11分
航模的速度
（米/秒）
……………12分
答：航模的速度為2
（米/秒）
……………13分
法二:（略解）、在
中，
中
在 
中，DC2=AD2+AC2-2AD?ACcos60°=9600
……………10分
……………11分
航模的速度（米/秒） ………12分
答：航模的速度為2（米/秒） ……………13分
法三:（略解）、如圖建立直角坐標系，
則A(0，0)， B(80，0)， D(0，80） …………2分
由，AC=40（1+
）,∴C(60+20,20+20)
……………7分
……………11分
航模的速度（米/秒）
……………12分
答：航模的速度為2（米/秒） ……………13分
19、本題主要考查直線、圓與橢圓的位置關系等基本知識，考查運算求解能力和探索求解、分析問題、解決問題的能力. 滿分13分
解： (Ⅰ) 設C（x, y）, ∵ 
, 
, ∴ 
,
∴ 由定義知,動點C的軌跡是以A、B為焦點,長軸長為6的橢圓,除去與x軸的兩個交點.
設橢圓方程為
則a=3,c=2.∴b2=a2-c2=5.∴ 曲線M的方程為: 
(y≠0).(缺y≠0的扣1分)……5分
(Ⅱ)法一: 即要使DE⊥DF, 用特值法kDE=1,
由
得14y2+30y=0,又y≠0, ∴y=-
,代入DE得x=
,
由對稱性知定點在x軸上, ∴最多只有定點Q
……8分
設直線DE的方程為x=my+3,E(x1,y1),
由
得(
∴E(
,-),
…………………10分
同理F(
,
)
…………………11分
kQE-kQF=
-
=
-=0
得E、Q、F三點共線,得出定點坐標為．
…………………13分
法二:當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為yx=kx+m,E(x1,y1),F(x1,y1)，
由
得
，
由△=(18mk)2-36(5+9k2)(m2-5)>0, 得5+9k2- m2>0,
………………………8分
又
，
因為以EF為直徑的圓過點
等價于
，即
，
，
.解得：
，
，且均滿足
，
當m1=-3k時，l的方程為y=k(x-3)，直線過點Q(3,0)，因為點Q不在曲線M上，此時l與曲線M沒有兩個公共點，不合題意；
當
時，
的方程為
，直線過定點． ……………11分
當直線l的斜率不存在時，直線
與曲線M交于
兩點，此時
，由，得
，點
在曲線M上，
，所以
，解得
，即直線 
滿足條件.
∴直線過定點，定點坐標為．
……………………………13分
20. 本題主要考查函數、導數的基本知識及用導數處理函數性質，遞推數列及不等式、數學歸納法等基礎知識，同時考查考生函數與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想等及推理論證能力、運算求解能力及創新意識．滿分14分.
解: (Ⅰ)f '(x)= 
-
,又函數f(x)在x=1處有極值,∴f '(1)=0,a=1,經檢驗符合題意 ……2分
g'(x)= -
,
當x∈(0,1)時, g'(x)<0, g(x)為減函數, 當x =1時,g'(x)=0, 當x∈(1,+∞)時g'(x)>0，g(x)為增函數,∴g(x)在x =1時取得極小值g(1)=2+b,依題意g(1)≤0, ∴b≤-2,
∴b的最大值為-2; ………………………………………………4分
(Ⅱ)f '(x)= -,
當f (x)在(1，2)上單調遞增時, -≥0在[1，2]上恒成立, ∴a ≤x2,令h(x)= x2,
則h'(x)= ( x2+2 x)>0在[1，2]上恒成立,
即h(x) 在[1，2]上單調遞增,
∴h(x) 在[1，2]上的最小值為h(1)=1, ∴a≤1; ……………………………………7分
當f(x)在[1,2]上單調遞減時,同理a≥x2
同步練習冊答案
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com