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（選做題）已知矩陣的一個(gè)特征值為3，求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．

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選作題，本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
A．（幾何證明選講）
如圖，AB是半圓的直徑，C是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD切半圓于點(diǎn)D，CD=2，DE⊥AB，垂足為E，且E是OB的中點(diǎn)，求BC的長(zhǎng)．
B．（矩陣與變換）
已知矩陣的屬于特征值b的一個(gè)特征向量為，求實(shí)數(shù)a、b的值．
C．（極坐標(biāo)與參數(shù)方程）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，-2）在曲線（t為參數(shù)，p為正常數(shù)），求p的值．
D．（不等式選講）
設(shè)a₁，a₂，a₃均為正數(shù)，且a₁+a₂+a₃=1，求證：．

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A、選修4-1：幾何證明選講 
如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，D為PA的中點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)D引割線交⊙O于B，C兩點(diǎn)，求證：∠DPB=∠DCP．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣的一個(gè)特征值為3，求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），判斷直線l和圓C的位置關(guān)系．
D．選修4-5：不等式選講
求函數(shù)的最大值．

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一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算. 每題5分，滿分50分.

       1. B  2.A  3.D  4.D  5.C  6.B  7.D  8.A  9.B  10.C

二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算. 每題4分，滿分20分.

       11.  31     12.  15   13.  16     14.  4  

15.  16+17+18+19=12+13+14+15+16=7+8+9+10+11+12+13.

三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

16．本題主要考查頻率分布表、直方圖、眾數(shù)、分層抽樣、分布列、期望等統(tǒng)計(jì)概率知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的能力。滿分13分.

解：（I）①處填20，②處填0.35；

眾數(shù)為172.5cm……………3分

補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示。

…………6分

（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從中選

取20人,則其中“身高低于170cm”

的有5人，“身高不低于170cm”

的有15人。      ……7分

故ξ的可能取值為0，1，2，3；

           …………………10分

所以ξ的分布列為

ξ

0

1

2

3

P

                                                                  …………11分

所以：                    …………13分

17. 本題主要考查三視圖,線面位置關(guān)系，二面角的求法等基本知識(shí)，考查空間想像能力，探索運(yùn)算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.

法一:(Ⅰ)證明∵該幾何體的正視圖為矩形,側(cè)視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形,

∴BA,BC,BB₁兩兩垂直.

以BA,BC,BB₁分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,……1分

則N(4,4,0),B₁(0,8,0),C₁(0,8,4),C(0,0,4)

∵=(4,4,0)?(-4,4,0)=-16+16=0

=(4,4,0)?(0,0,4)=0              ……3分

∴BN⊥NB₁, BN⊥B₁C₁且NB₁與B₁C₁相交于B₁,

∴BN⊥平面C₁B₁N;                                                    ……4分

(Ⅱ)∵BN⊥平面C₁B₁N, 是平面C₁B₁N的一個(gè)法向量=(4,4,0),           ……5分

設(shè)=(x,y,z)為平面NCB₁的一個(gè)法向量,

則，取=(1,1,2),     …7分

則cosθ===;                                ……9分

(Ⅲ)∵M(jìn)(2,0,0).設(shè)P(0,0,a)為BC上一點(diǎn),則=(-2,0,a)，∵M(jìn)P∥平面CNB₁,

∴⊥?=(-2,0,a) ?(1,1,2)=-2+2 a =0 a =1.                ……12分

又MP平面CNB₁, ∴MP∥平面CNB₁, ∴當(dāng)BP=1時(shí)MP∥平面CNB₁.     ……13分

法二:(Ⅰ)證明:由已知得B₁C₁⊥平面BNB₁,∴B₁C₁⊥BN,

BN=4= B₁N,BB₁=8, ∴BB₁²= BN²+ B₁N², ∴BN⊥B₁N

又B₁C₁與B₁N交于B₁, ∴BN⊥平面C₁B₁N；

(Ⅱ)過(guò)N作NQB₁C₁,則BCQN,又BN⊥平面C₁B₁N,

∴CQ⊥平面C₁B₁N,則CQ⊥B₁N, QN⊥B₁N ,∴∠CNQ是二面角C-B₁N-Q的平面角θ,

在Rt△CNQ中,NQ=4,CQ=4, ∴CN=4,cosθ==;

(Ⅲ)延長(zhǎng)BA、B₁N交于R,連結(jié)CR,∵M(jìn)P∥平面CNB₁,

MP平面CBR, 平面CBR∩平面CRN于CR,

∴MP∥CR, △RB₁B中ANBB₁,∴A為RB中點(diǎn),

∴==,∴BP=1,因此存在P點(diǎn)使MP∥平面CNB₁.         ……………13分

18.本題主要考查學(xué)生運(yùn)用正弦和余弦定理解決與三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的運(yùn)算能力以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。滿分13分.

法一:1、在△ABC中,∵∠BAD=90°,∠ABD=45°,∴∠ADB=45°…2分

         ……………………4分

在中，

            ……………6分

在中，DC²=DB²+BC²-2DB?BCcos60°=(80)²+(40)²-2×80×40×

=9600                                                       ……………10分

                                             ………………11分

航模的速度（米/秒）                          ……………12分

答：航模的速度為2（米/秒）                              ……………13分

法二:（略解）、在中，中

在 中，DC²=AD²+AC²-2AD?ACcos60°=9600          ……………10分

                    ……………11分

航模的速度（米/秒）   ………12分

答：航模的速度為2（米/秒）   ……………13分

法三:（略解）、如圖建立直角坐標(biāo)系，

則A(0，0)， B(80，0)， D(0，80）   …………2分

由，AC=40（1+）,∴C(60+20,20+20)         ……………7分

    ……………11分

航模的速度（米/秒）                          ……………12分

答：航模的速度為2（米/秒）                              ……………13分

19、本題主要考查直線、圓與橢圓的位置關(guān)系等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和探索求解、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 滿分13分

解： (Ⅰ) 設(shè)C（x, y）, ∵ , , ∴ ,

∴ 由定義知,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓,除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn).

設(shè)橢圓方程為

則a=3,c=2.∴b²=a²-c²=5.∴ 曲線M的方程為:  (y≠0).(缺y≠0的扣1分)……5分

(Ⅱ)法一: 即要使DE⊥DF, 用特值法k_DE=1,

由得14y²+30y=0,又y≠0, ∴y=-,代入DE得x=,

由對(duì)稱性知定點(diǎn)在x軸上, ∴最多只有定點(diǎn)Q……8分

設(shè)直線DE的方程為x=my+3,E(x₁,y₁),

由得(5m²+9)y²+30my=0, 又y≠0, ∴y₁=-

∴E(,-),                                     …………………10分

同理F(,)                                     …………………11分

k_QE-k_QF=-=-=0

得E、Q、F三點(diǎn)共線,得出定點(diǎn)坐標(biāo)為．                     …………………13分

法二:當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為yx=kx+m,E(x₁,y₁),F(x₁,y₁)，

由得，

由△=(18mk)²-36(5+9k²)(m²-5)>0, 得5+9k²- m²>0,

                        ………………………8分

又，

因?yàn)橐訣F為直徑的圓過(guò)點(diǎn)等價(jià)于，即

，，

.解得：，，且均滿足，

當(dāng)m₁=-3k時(shí)，l的方程為y=k(x-3)，直線過(guò)點(diǎn)Q(3,0)，因?yàn)辄c(diǎn)Q不在曲線M上，此時(shí)l與曲線M沒(méi)有兩個(gè)公共點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)．      ……………11分

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線與曲線M交于兩點(diǎn)，此時(shí)

，由，得，點(diǎn)在曲線M上，，所以，解得，即直線 滿足條件.

  ∴直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．             ……………………………13分

20. 本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)及用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)性質(zhì)，遞推數(shù)列及不等式、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查考生函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等及推理論證能力、運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新意識(shí)．滿分14分.

解: (Ⅰ)f '(x)= -,又函數(shù)f(x)在x=1處有極值,∴f '(1)=0,a=1,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意 ……2分

g'(x)= -,

當(dāng)x∈(0,1)時(shí), g'(x)<0, g(x)為減函數(shù), 當(dāng)x =1時(shí),g'(x)=0, 當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)g'(x)>0，g(x)為增函數(shù),∴g(x)在x =1時(shí)取得極小值g(1)=2+b,依題意g(1)≤0, ∴b≤-2,

∴b的最大值為-2;                     ………………………………………………4分

(Ⅱ)f '(x)= -,

當(dāng)f (x)在(1，2)上單調(diào)遞增時(shí), -≥0在[1，2]上恒成立, ∴a ≤x²,令h(x)= x²,

則h'(x)= ( x²+2 x)>0在[1，2]上恒成立, 即h(x) 在[1，2]上單調(diào)遞增,

∴h(x) 在[1，2]上的最小值為h(1)=1, ∴a≤1;      ……………………………………7分

當(dāng)f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減時(shí),同理a≥x²