2009年廈門市高中畢業班適應性考試
數學（文科）試卷
注意事項；
1．本科考試分試題卷和答題卷，考生須在答題卷上作答。答題前，請在答題卷的密封線內填寫學校、班級、考號、姓名。
2．本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題題）兩部分，全卷滿分150分，考試時間120分鐘。
參考公式：
錐體的體積公式；
，其中
為底面面積，
為高；
球的表面積公式：
，體積公式：
，其中
為球的半徑。
第I卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知復數
，則
A．1 B．
D．3
2．已知命題
，則
A．
B．
C．
D．
3．已知集合
，集合
，則
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
5．已知直線
及三個不同平面
，給出下列命題
（1）若
（2）若
（3）若
（4）若
其中正確的命題是
A．（1）（3） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（2）（4）
6．若向量
滿足
，且
則向量
和
的夾角等于
A．
B．
C．
D．
7．已知函數
，下列判斷正確的是
A．
是奇函數，在
上是增函數
B．是奇函數，在上不是增函數
C．不是奇函數，在上增函數
D．不是奇函數，在上不是增函數
8．測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D．現測
的，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB為
A．
B．
C．
D．
9．已知變量
滿足條件
，則
的最小值是
A． -4 B．
10．若直線
始終平分圓
，則
的最大值為
A．4 B．
11．等差數列
的公差
，且
，則數列的前項和
取得最大值時
A．7 B．
12．已知函數
，函數
，則函數
有兩個零點的充要條件是
A．
B．
C．
D．
第II卷（非選題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填寫在答題卡的相應位置。
13．曲線
在點
處的切線斜率為
14若拋物線
的焦點與雙曲線
的右焦點重合，則
的值等于
15．圖2中實線圍成的部分是長方體（圖1）的平面展開圖，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形。若向圖2中虛線圍成的矩形內任意拋擲一質點，它落在長方體的平面展開圖內的概率是，則此長方體的體積是
16．如果一個自然數
，我們可以把它寫成若干個連續自然數之和，則稱其為自然數的一個“分拆”。如9=4+5=2+3+4．我們就說“4+
三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。把解答過程填寫在答題卡的相應位置。
17．（本小題滿分12分）
已知函數
，其部分圖像如圖所示。
（I）
求函數
的表達式；
（II）
若
，且
，試求
的值。
18.（本小題滿分12分）
為了了解某年段1000名學生的百米成績情況，隨機抽取了若干學生的百米成績，成績全部介于13秒與18秒之間，將成績按如下方分成五組：第一組
，第二組
，……第五組
；按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示。已知第一組、第二組、第三組的頻率之比為3：8：19，且第二組的頻數為8.
（I）
將頻率當作概率，請估計該年段學生中百米成績在
內的人數；
（II） 求調查中隨機抽取了多少個學生的百米成績；
（III） 若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率。
19.（本小題滿分12分）
已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，側視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形。
（I）
若M為CB中點，證明：
；
（II） 求這個幾何體的體積。
20.（本小題12分）
已知數列的前項和
（I）
試求的通項公式，并說明是否為等比數列；
（II）
設數列
滿足
，求
的最小值。
21.(本小題滿分12分)
已知橢圓過點
過點
，且長軸等于4，
是橢圓的兩個焦點。
（I） 求橢圓C的方程；
（II）
是以
為直徑的圓，直線
與相切，并與橢圓C交于不同的兩點
，若
，求
的值。
22.（本小題滿分14分）
已知函數
的單調遞減區間是
，且滿足
（I）
求的解析式；
（II）
對任意實數
，關于
的不等式
在
上有解，求實數
的取值范圍。
2009年廈門市高中畢業班適應性考試
一、選擇題：本題考查基礎的知識和基本運算，每題5分，滿分60分。
二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算。每題4分，滿分16分。
13．1 14．4 15．3 16．9+10+11，4+5+6+7+8，6+7+8+9（選對其中兩個即可）
三、解答題:本題共6大題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．本題主要考查三角函數的圖像和性質，以及三角變換的知識，考查運算求解能力。
解：（I）由圖象知
將
代入
得
因為
，所以
所以
（II）因為
所以
，
18．本題考查樣本估計總體，古典概型，頻率分布直方圖等知識，考查數據處理能力和分析問題、解決問題的能力。
解：（I）百米成績在
內的頻率為0.32
0.32
估計該年段學生中百米成績在內的人數為320人。
（II）設圖中從左到右前3個組的頻率分別為3x,8x,19x依題意，得
,
設調查中隨機抽取了n個學生的百米成績，則
調查中隨機抽取了50個學生的百米成績。
（III）百米成績在第一組的學生數有
，記他們的成績為
百米成績在第五組的學生數由
，記他們的成績為
則從第一、五組中隨機取出兩個成績包含的基本事件有
其中滿足成績的差的絕對值大于1秒所包含的基本事件有
所以
19．本題主要考查線面平行與垂直關系，及多面體的體積計算等基礎知識，考察空間想象能力、抽象概括能力和運算求解能力。
（I）證明：取
的重點P，連
已知M為CB中點，
，且
由三視圖可知，四邊形
為直角梯形，
，四邊形ANPM為平行四邊形，
，
又
平面
平面
，
平面
（II）該幾何體的正視圖為矩形，側視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，
兩兩垂直
與BA相交于B，
平面
，BC為三棱錐
的高
取
的重點
，連
，四邊形的直角梯形且
，四邊形ABQN為正方形，
，
又
平面，
平面
，
且
與相交于B，
平面
為四棱錐
的體積
20．本題主要考查數列的該概念、等差數列、等比數列的通項及前n項和等基礎知識，考察推理論證能力、函數與方程思想以及分類與整合思想
解：（I）
時，
時，
不是等比數列
（II）
，
所以當
時有：
當
時有：
；
的最小值為
（注：作商比較也可）
21．本題主要考查直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考察運算求解能力及化歸與轉換和數形結合思想。
解：（I）由題意橢圓的長軸
，
在橢圓上，
橢圓的方程為
（II）由直線l與圓O相切得
設
，由
消去
，整理得
由題可知圓O在橢圓內，所以直線必與橢圓相交，
的值為
22．本題主要考查函數與倒數的基本知識及綜合應用知識的能力，考察分類與整合思想、化歸與轉換思想，考察分析問題和解決問題的能力。
解：（I）由已知得，
函數
的單調遞減區間是（1，2），
的解是
的兩個根本分別是1和2，且
從
且，可得
又
得
（II）由（I）得，
時，
在
上是增函數，
對
當x=2時，
要使
在
上有解，
即
既
對任意
恒成立，
即
對任意恒成立，
設
，則
令
得
或
在
的符號與
德單調情況如下表：
m
（0，1）
1
（1，2）
-
0
+
æ
極小值
ä
時，
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