2003年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）
數學（新課程理工農醫類）
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
（1）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）已知
，
，則tan 2x＝
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）設函數
若f(x0)>1，則x0的取值范圍是
（A）（－1，1） （B）（－1，＋∞）
（C）（－∞，－2）
（0，＋∞） （D）（－∞，－1）（1，＋∞）
（4）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足
，
，則P的軌跡一定通過△ABC的
（A）外心 （B）內心
（C）重心 （D）垂心
（5）函數
，x∈(1，+∞)的反函數為
（A）
，x∈(1，+∞) （B）
，x∈(1，+∞)
（C）
，x∈(－∞，0) （D），x∈(－∞，0)
（6）棱長為a的正方體中，連結相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）設a>0，f(x)＝ax2+bx+c，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處切線的傾斜角的取值范圍為
，則P到曲線y＝f(x)對稱軸距離的取值范圍為
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）已知方程(x2－2x+m)(x2－2x+n)的四個根組成一個首項為
的等差數列，則
|m－n|＝
（A）1 （B）
（C）
（D）
（9）已知雙曲線中心在原點且一個焦點為
，直線
與其相交于M、N兩點,MN中點的橫坐標為
，則此雙曲線的方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）已知長方形的四個頂點A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)，一質點從AB的中點P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P1后，依次反射CD、DA到AB和上的點P2、P3和P4（入射角等于反射角）．設P4的坐標為(x4，0)．若1< x4<2，則tgθ的取值范圍是
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）
（A）3 （B）
（C）
（D）6
（12）一個四面體的所有棱長都為
，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為
（A）3p （B）4p （C）
（D）6π
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、選擇題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線上．
（13）
展開式中x9的系數是
．
（14）某公司生產三種型號的轎車，產量分別為1200輛，6000輛和2000輛，為檢驗該公司的產品質量，現用分層抽樣的方法抽取46輛進行檢驗，這三種型號的轎車依次應抽取_______，_______，_________輛．
（15）某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖），現要栽種4種不
同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有_____種．（以數字作答）
（16）下列五個正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出l⊥面MNP的圖形的序號是 ．（寫出所有符合要求的圖表序號）
（17）（本小題滿分12分）
已知函數f(x)＝2sin x (sin x+cos x)．
（Ⅰ）求函數f(x)的最小正周期和最大值；
三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
（Ⅱ）在給出的直角坐標系中，畫出函數y＝f(x)的區間
上的圖象
（18）（本小題滿分12分）
如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側棱
AA1＝2，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．
（Ⅰ）求A1B與平面ABD所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；
（Ⅱ）求點A1到平面AED的距離．
（19）（本小題滿分12分）
設a>0，求函數
（x∈(0，+∞)）的單調區間．
（20）（本小題滿分12分）
A、B兩個代表隊進行乒乓球對抗賽，每隊三名隊員，A隊隊員是A1，A2，A3，B隊隊員是B1，B2，B3，按以往多次比賽的統計，對陣隊員之間勝負概率如下：
對陣對員
A隊隊員勝的概率
A隊隊員負的概率
A1對B1
A2對B2
A3對B3
現按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負隊得0分，設A隊、B隊最后所得總分分別為x、h．
（Ⅰ）求x、h的概率分布；
（Ⅱ）求Ex、Eh．
（21）（本小題滿分12分）
已知常數a>0，向量c=(0，a)，i＝(1，0)．經過原點O以c+li為方向向量的直線與經過定點A（0，a）以i－2lc為方向向量的直線相交于點P，其中l∈R．試問：是否存在兩個定點E、F，使得| PE | + | PF |為定值．若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由．
（22）（本小題滿分14分）
設a0為常數，且an＝3n－1－2an－1（n∈N）．
（Ⅰ）證明對任意n≥1，
；
（Ⅱ）假設對任意n≥1有an>an－1，求a0的取值范圍．
2003年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）
一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分60分．
（1）B （2）D （3）D （4）B （5）B （6）C
（7）B （8）C （9）D （10）C （11）B （12）A
二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分16分．
（13）
（14）6，30，10 （15）120
（16）①④⑤
三、解答題：
（17）本小題主要考查三角函數的基本性質和恒等變換的基本技能，考查畫圖的技能，滿分12分．
解（I）
所以函數
的最小正周期為π，最大值為
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
1
1
1
故函數
在區間
上的圖象是
（18）本小題主要考查線面關系和直棱柱等基礎知識，同時考查空間想像能力和推理運算能力，滿分12分．
解法一：（Ⅰ）連結BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B與平面ABD所成的角．
設F為AB中點，連結EF、FC，
∵ D、E分別是CC1、A1B的中點，又DC⊥平面ABC，
∴ CDEF為矩形．
連結DF，G是△ADB的重心，
∴G∈DF．
在直角三角形EFD中，
，
∵ EF＝1，∴
……4分
于是
∵ 
∴ 
∴ 
∴ A1B與平面ABC所成的角是
（Ⅱ）連結A1D，有
∵ ED⊥AB，ED⊥EF，又EF
AB＝F，
∴ ED⊥平面A1AB．
設A1到平面AED的距離為h．
則 
又 
∴ 
即A1到平面AED的距離為
解法二： （Ⅰ）連結BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B與平面ABD所成的角．
如圖所示建立坐標系，坐標原點為O，設CA＝2a，則 A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)，
．
∴ 
，
．
∴ 
，解得 a＝1．
∴ 
，
．
∴ 
．
A1B與平面ABD所成角是
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1)．
，
，
∴ ED⊥平面AA1E，又EDÌ平面AED，
∴ 平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E＝AE，
∴ 點A1在平面AED的射影K在AE上．
設 
，
則 
．
由 
，即l+l+l－2＝0，
解得 
．
∴ 
．
∴ 
．
故A1到平面AED的距離為
．
（19）本小題主要考查導數的概念和計算，應用導數研究函數性質的方法及推理和運算能力．滿分12分．
解：
．
當a>0，x>0時
f ¢(x)>0Ûx2+(2a－4)x+a2>0，
f ¢(x)<0Ûx2+(2a－4)x+a2<0．
（?）當a > 1時，對所有x > 0，有
x2+(2a－4)x+a2>0，
即f ¢(x)>0，此時f(x)在（0，+∞）內單調遞增．
（?）當a＝1時，對x≠1，有
x2+(2a－4)x+a2>0，
即f ¢(x)>0，此時f(x)在（0，1）內單調遞增，在（1，+∞）內單調遞增．
又知函數f(x)在x＝1處連續，因此，函數f(x)在（0，+∞）內單調遞增．
（?）當0<a<1時，令f ¢(x)>0，即
x2+(2a－4)x+a2>0，
解得
，或
．
因此，函數f(x)在區間
內單調遞增，在區間
內也單調遞增．
令f ¢(x)<0，即x2+(2a－4)x+a2 < 0，
解得
．
因此，函數f(x)在區間
內單調遞減．
（20）本小題考查離散型隨機變量分布列和數學期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力，滿分12分．
解：（Ⅰ）x，h的可能取值分別為3，2，1，0．
，
，
，
；
根據題意知x+h=3，所以
，
，
，
．
（Ⅱ）
；
因為 x +h＝3，
所以 
．
（21）本小題主要考查平面向量的概念和計算，求軌跡的方法，橢圓的方程和性質，利用方程判定曲線的性質，曲線與方程的關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力，滿分12分．
解：根據題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值．
∵ i＝(1，0)，c＝(0，a)，
∴ c+li=(l，a)，i－2lc=(1，－2la)．
因此，直線OP和AP的方程為
ly=ax 和 y－a＝－2lax．
消去參數l，得點P(x，y)的坐標滿足方程y(y－a)=－2a2x2，
整理得 
．
①
因為a>0，所以得：
（?）當
時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；
（?）當
時，方程①表示橢圓，焦點
和
為合乎題意的兩個定點：
（?）當
時，方程①也表示橢圓，焦點
和
為合乎題意的兩個定點．
（22）本小題主要考查數列、等比數列的概念，考查數學歸納法，考查靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力，滿分14分．
（Ⅰ）證法一：（?）當n＝1時，由已知a1=1－2a0，等式成立；
（?）假設當n＝k（k≥1）等式成立，即
，
那么 
，
也就是說，當n＝k+1時，等式也成立．
根據（?）和（?），可知等式對任何n∈N+成立．
證法二：如果設an－a3n=－2(an－1－a3n－1)，
用
代入，可解出
．
所以
是公比為－2，首項為
的等比數列．
∴ 
（n∈N+），
即 
．
（Ⅱ）解法一：由an通項公式
，
∴ an>an－1（n∈N+）等價于
（n∈N+）．
①
（?）當n＝2k－1，k＝1，2，…時，①式即為
，
即為 
．
②
②式對k＝1，2，…都成立，有
．
（?）當n＝2k，k＝1，2，…時，①式即為
，
即為 
．
③式對k＝1，2，…都成立，有
．
②
綜上，①式對任意n∈N+成立，有
．
故a0的取值范圍為（0，
）．
解法二：如果an>an－1（n∈N+）成立，特別取n＝1，2有
a1－a0=1－3a0>0，
a2－a1=6a0>0，
因此 ．
下面證明當時，對任意n∈N+，有an－an－1>0．
由an通項公式
．
（?）當n＝2k－1，k＝1，2，…時，
＝0．
（?）當n＝2k，k＝1，2，…時，
≥0．
故a0的取值范圍為（0，）．
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