2009年福建省龍巖市高中畢業班質量檢查數學（文科）試題
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），共4頁. 全卷滿分150分，考試時間120分鐘.
參考公式：
樣本數據x1，x2，…，xn的標準差：
s=
，其中
為樣本平均數；
柱體體積公式：V=Sh ，其中S為底面面積，h為高；
錐體體積公式：V=
Sh，其中S為底面面積，h為高；
球的表面積、體積公式：
，
，其中R為球的半徑.
第I卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本題共１2小題，每小題５分，共6０分．在每小題給出的四個選項中，只有一
1．已知全集
，集合
，
，則
等于
A．
B．
C．
D．
2．化簡
的結果是
A．
B．
C．
D．
3．設
是等比數列，若
，則
等于
A．6 B．
4．雙曲線
的離心率為
A．
B．
C．
D．
5．已知向量a?b=
，| a | =4，a和b的夾角為
，則| b |為
A．1 B．2 C．4
D．
6．已知直線
與圓
相切，則實數
的值是
A．0 B．10 C．0或
D．0或10
7．已知三條直線的方程分別是
，
和
，則這三條直線所圍成的三角形
面積為
A．
B．3 C．
D．6
8． 將函數
的圖象向左平移
個單位后，得到函數
的圖象，則
的圖象
A．關于原點對稱
B．關于
軸對稱
C．關于點
對稱
D．關于直線
對稱
9．已知某算法的流程圖如右圖所示，則輸出的結果是
A．3 B．4
C．5 D．6
10．如圖，在正方體
中，
、
、
分別是
棱
、
、
的中點，則下列結論中：
①
；
②
；
③
；
④
.
正確結論的序號是
A．①和② B．③和④
C． ①和③ D．②和④
11．下列說法正確的是
A. 若
，則
B. 函數
的零點落在區間
內
C. 函數
的最小值為2
D. “
”是“直線
與直線
互相平行”的充分條件
12 設函數
其中
，
，則
的最大值為
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第Ⅱ卷（非選擇題 共9０分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題４分，共16分．把答案填在答題卡的相應位置.
13．已知
是奇函數，則其圖象在點
處的切線方程為
．
14．在長40厘米，寬30厘米的游戲屏幕上飄飛著5個直徑均為
4厘米的圓形氣球，每個氣球顯示完整且不重疊．游戲玩家
對準屏幕隨機射擊一次，則擊中氣球的概率為 ．
15．一個空間幾何體的三視圖如右圖所示，其正視圖、側視圖、
俯視圖均為等腰直角三角形，且直角邊長都為1，則它的
外接球的表面積是 ．
16．正整數
的三次冪可拆分成幾個連續奇數的和，如右圖所示，
若
的“拆分數”中有一個數是2009，則的值為 ．
三、解答題：本大題共６小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
在
中，
，
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
，求的面積．
18．（本小題滿分12分）
如圖，
，其中四邊形
是正
方形，
是等邊三角形，且
，點
、
分別是
、
的中點．
（Ⅰ）求三棱錐
的體積；
（Ⅱ）求證：
；
（Ⅲ）若點
在線段
上運動，求證：
．
19．（本小題滿分12分）
等差數列
中，
，
．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）若在數列的每相鄰兩項
和
之間各插入一個數
，使之成為新的數列
，
為數列的前
項的和，求
的值．
20．（本小題滿分12分）
某公司欲招聘員工，從1000名報名者中篩選200名參加筆試，按筆試成績擇優取50名面試，再從面試對象中聘用20名員工．
（Ⅰ）求每個報名者能被聘用的概率；
（Ⅱ）隨機調查了24名筆試者的成績如下表所示：
分數段
[60，65)
[65，70)
[70，75)
[75，80)
[80，85)
[85，90)
人數
1
2
6
9
5
1
請你預測面試的切線分數大約是多少？
（Ⅲ）公司從聘用的四男
、
、
、
和二女
、
中選派兩人參加某項培訓，則選派結果為一男一女的概率是多少？
21．（本小題滿分12分）
已知橢圓
：
的兩個焦點的坐標分別為
、
，點P在橢圓上，
且
的周長為6．
（Ⅰ）求橢圓的方程和
的外接圓
的方程；
（Ⅱ）
為橢圓的左頂點，過點
的直線
與橢圓交于
、
兩點，且、均不在x軸上，設直線
、
的斜率分別為
、
，求
的值．
22．（本小題滿分14分）
設函數
．
（Ⅰ）當
時，求
的最大值；
（Ⅱ）令
，以其圖象上任意一點
為切
點的切線的斜率
恒成立，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）當
，
時，方程
有唯一實數解，求正數的值．
2009年龍巖市高中畢業班質量檢查
說明：
一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細則.
二、對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.
三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.
四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分.
一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題5分，滿分60分.
1. A 2. D 3. C 4. C 5. B 6. D 7. B 8. A 9. C 10. D 11. B 12. C
二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題4分，滿分16分.
13. 
14.
15.
16.
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 本題主要考查三角函數的基本公式，考查運算能力. 滿分12分.
解：（Ⅰ）在
中，因為
，
所以
.
……………………………（3分）
所以
. …………………………（6分）
（Ⅱ）根據正弦定理得：
，
所以
. ……………………………（9分）
所以
. ………………………………………………………（12分）
18．本題主要考查直線與平面的位置關系，考查空間想像能力，推理論證能力和運算求解能
力. 滿分12分.
解：（Ⅰ）因為平面ABCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，所以BC⊥平面ABE，
因為G是等邊三角形ABE的邊AE的中點，所以BG⊥AE，……………（2分）
所以
．…………………………………………（4分）
（Ⅱ）取DE中點M，連結MG、FM，
因為MG 
AD，BF
AD，所以MG BF，
四邊形FBGM是平行四邊形，所以BG//FM.（6分）
又因為FM
平面EFD，BG
平面EFD，
所以BG//平面EFD. ………………（8分）
（Ⅲ）因為DA⊥平面ABE，BG平面ABE，所以DA⊥BG. …………………（9分）
又BG⊥AE，AD
AE＝A，
所以BG⊥平面DAE，又AP平面DAE，………………………………（11分）
所以BG⊥AP. ……………………………………………………………（12分）
19. 本題主要考查等差數列、等比數列的基本知識，考查運算求解能力及推理能力. 滿分12分.
解：（Ⅰ）設該等差數列的公差為
，依題意得：
………（2分）
解得：
………………………………………………………（4分）
所以數列
的通項公式為
.
………………………………（6分）
（Ⅱ）依題意得：
………………（9分）
. ………（12分）
20. 本題主要考查概率、統計的基本知識，考查應用意識. 滿分12分.
解：（Ⅰ）設每個報名者能被聘用的概率為P，依題意有：
.
答：每個報名者能被聘用的概率為0.02. ………………………………………（4分）
（Ⅱ）設24名筆試者中有x名可以進入面試，依樣本估計總體可得：
，解得：
，從表中可知面試的切線分數大約為80分.
答：可以預測面試的切線分數大約為80分. ……………………………………（8分）
（Ⅲ）從聘用的四男、二女中選派兩人的基本事件有：（a,b）,( a,c) , (a, d) ,( a, e) ,
(a, f) ,( b, c) ,（b,d）,( b, e) ,( b, f) ,(c, d) ,（c, e）,( c, f) ,( d, e) ,( d, f) ,（e, f）,共15種.
選派一男一女參加某項培訓的種數有:
(a,e) ,( a, f) , (b,e) ,(b, f),（c,e）,(c, f) ,(d,e) ,(d, f)，共8種
所以選派結果為一男一女的概率為
.
答：選派結果為一男一女的概率為.
…………………………………（12分）
21．本題主要考查圓、直線與橢圓的位置關系等基本知識，考查運算求解能力和分析問題、
解決問題的能力. 滿分12分
解：（Ⅰ）由已知得，
,所以
又
，所以
，橢圓C的方程為
………（3分）
因為
，所以
，可求得
或
，…（5分）
所以
的外接圓D的方程是
或
．
………………………………………………………………（7分）(少一解扣1分)
（Ⅱ）當直線
的斜率不存在時，由（Ⅰ）得
，
，
可得
，所以
．…………………………………（8分）
當直線的斜率存在時，設其斜率為
，顯然
，
則直線的方程為
，設點
，
將代入方程
，并化簡得：
……………………………………（9分）
可得：
，
， ……………………（10分）
所以
綜上，．
………………………（12分）
22．本題主要考查函數的單調性、極值、最值、不等式、方程的解等基本知識，考查運用導
數研究函數性質的方法，考查分類與整合及化歸與轉化等數學思想. 滿分14分.
解：（Ⅰ）依題意，知
的定義域為
.
…………………………………（1分）
當
時，
，
.
………………………………（2分）
令
，解得
.
當
時，
，此時
單調遞增；
當
時，
，此時單調遞減. ……………………………（3分）
所以的極大值為
，此即為最大值 . ……………………（4分）
（Ⅱ）
，
所以
，在
上恒成立，………………（6分）
所以
，…………………………………（7分）
當
時，
取得最大值．所以
． ………………（9分）
（Ⅲ）因為方程
有唯一實數解，所以
有唯一實數解．設
，則
.
令
，得
．
因為
，
所以
（舍去），
， ………（10分）
當
時，
，
在
單調遞減，
當
時，
，在
單調遞增．
當
時，
，取最小值
. ……………………（11分）
因為
有唯一解，所以
．
則
，即
所以
，
因為
，所以
． …………………………（12分）
設函數
，
因為當
時，
是增函數，所以
至多有一解．
………（13分）
因為
，所以方程
的解為
，即
，
解得
……………………………………………（14分）
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