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山東省臨沂市2009屆高三一模考試
數學（文史類）
2009.3
本試卷分為選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分。考試時間120分鐘
注意事項：
1、 選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如果需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
2、 非選擇題必須用
參考公式：
錐體的體積公式V＝
，其中S是錐體的底面積，h是錐體的高。
球的表面積公式S=4
，其中R是球的半徑。
第I卷（選擇題 共60分）
一、 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1、 設集合
，則下列關系中正確的是
A、 M=P B、M∪P=P C、M∪P=M D、M∩P=P
2、
A、
B、
C、1 D、－i
3、若函數f(x)=x3+x2－2x－2的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，其參考數據如下：
f(1)=－2
f(1.5)=0.625
f(1.25)=－0.984
f (1.375)=－0.260
f(1.4375)=0.162
f(1.40625)=－0.054
那么方程x3+x2－2x－2=0的一個近似根（精確到0.1）為
A、1.2 B、
4、已知
，A為第二象限角，則tanA=
A、
B、
C、
D、
5、在等腰直角三角形ABC中，若M是斜邊AB上的點，則AM小于AC的概率為
A、
B、
C、
D、
6、已知命題p：
;命題q：
.則下列判斷正確的是
A、p是真命題 B、q是假命題 C、
是假命題 D、
是假命題
7、某程序框圖如右圖所示，該程序運行
后輸出的倒數第二個數是
A、
B、
C、 
D、
8、已知函數
,若實數x0是方程f(x)=0的解，且0<x1<x0,則f(x1)的值
A、恒為正 B、等于零
C、恒為負 D、不大于零
9、已知雙曲線的兩個焦點F1(
,0),F2(
,0),M是此雙曲線上的一點，且
則該雙曲線的方程是
A、 
B、
C、
D、
10、若O為△ABC所在平面內一點，且滿足
，則△ABC的形狀為
A、正三角形 B、直角三角形
C、等腰三角形 D、以上都不對
11、某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積的最大值為
A、 
B、 
C、
D、
12、已知點P(x,y)是直線kx+y+4=0(k>0)上一動點，PA、PB是圓C：
的兩條切線，A、B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為
A、
B、
C、
D、2
第II卷（非選擇題 共90分）
二、 填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在答題紙給定的橫線上。
13、當
時，冪函數
的圖象不可能經過第 象限。
14、如果一個二元一次不等式組表示的平面區域是圖中的陰影部分（包括邊界），則這個不等式組是 。
15、已知A、B是拋物線
上的兩點，線段AB的中點為M（2,2），則|AB|等于 。
16、下面四個命題：
①把函數
的圖象向右平移
個單位，得到
的圖象;
②函數
的圖象在x=1處的切線平行于直線y=x，則
是f(x)的單調遞增區間;
③正方體的內切球與其外接球的表面積之比為1∶3;
④“a=2”是“直線ax+2y=0平行于直線x+y=
其中所有正確命題的序號為 。
三、 解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17、（本小題滿分12分）
如圖，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=
,∠BAC=θ,記
。
（1） 求
關于θ的表達式;
（2） 求的值域。
18、（本小題滿分12分）
如圖，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA＝AB＝1，AD＝
，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動。
（1）求三棱錐E-PAD的體積;
（2）當點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理由;
（3）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF。
19、（本小題滿分12分）
某校從參加高二年級學業水平測試的學生中抽出80名學生，其數學成績（均為整數）的頻率分布直方圖如圖所示。
（1）估計這次測試數學成績的平均分;
（2）假設在［90,100］段的學生的數學成績都不相同，且都在94分以上，現用簡單隨機抽樣的方法，從95,96,97,98,99,100這6個數中任取2個數，求這兩個數恰好是在［90，100］段的兩個學生的數學成績的概率。
20、（本小題滿分12分）
已知單調遞增的等比數列｛an｝滿足：a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中項。
（I） 求數列｛an｝的通項公式;
（II）
若bn=
,sn=b1+b2+┉+bn,對任意正整數n,sn+(n+m)an+1<0恒成立,試求m的取值范圍。
21、（本小題滿分12分）
已知F1,F2是橢圓C: 
（a>b>0）的左、右焦點，點P
在橢圓上，線段PF2與y軸的交點M滿足
。
（1）求橢圓C的方程。
（2）橢圓C上任一動點M
關于直線y=2x的對稱點為M1（x1,y1）,求3x1-4y1的取值范圍。
22、（本小題滿分14分）
已知函數
.
（1） 當a=-3時，求函數f(x)的極值;
（2） 若函數f(x)的圖象與x軸有三個不同的交點，求a的取值范圍。
一、選擇題：
1－12 BCCDC DCAAC DD
二、填空題：
13、二、四
14、
15、 
16、②③
三、解答題：
17、解：（1）由正弦定理，得
┉┉┉┉┉┉┉┉1分
┉┉┉┉3分
┉┉┉┉┉┉┉4分
┉┉┉┉┉┉5分
┉┉┉┉┉┉┉┉6分
（2）由
，得
┉┉┉┉┉┉┉┉7分
┉┉┉┉┉┉┉┉10分
∴
，即
的值域為
。┉┉┉┉┉┉┉┉12分
18、（1）解 ：∵PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，
┉┉┉┉┉┉┉┉2分
＝
＝
┉┉┉┉┉┉┉┉4分
（2）當E為BC中點時，∵F為PB的中點，
∴EF∥PC ┉┉┉┉┉┉┉┉5分
∵EF
平面PAC，PC
平面PAC，
∴EF∥平面PAC，即EF與平面PAC平行。┉┉┉┉┉┉┉┉8分
(3)∵PA＝AB，F為PB的中點，
∴AF⊥PB ┉┉┉┉┉┉┉┉9分
∵PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥BC
又BC⊥AB，BC⊥平面PAB
又AF平面PAB
∴BC⊥AF。 ┉┉┉┉┉┉┉┉10分
又PB∩BC=B, ∴AF⊥平面PBC ┉┉┉┉┉┉┉┉11分
因無論點E在邊BC的何處，都有PE平面PBC，
∴AF⊥PE。 ┉┉┉┉┉┉┉┉12分
19、解：（1）利用組中值估算抽樣學生的平均分：
┉┉┉┉┉┉┉┉2分
＝
┉4分
＝72
所以，估計這次考試的平均分是72分。┉┉┉┉┉┉┉┉5分
（2）從95，96，97，98，99，100中抽2個數的全部可能的基本結果有：
（95，96），（95，97），（95，98），（95，99），（95，100）
（96，97），（96，98），（96，99），（96，100）
（97，98），（97，99），（97，100），（98，99），（98，100），（99，100）
共15種結果。 ┉┉┉┉┉┉┉┉7分
如果這兩個數恰好是兩個學生的成績，則這兩個學生的成績在［90，100］段，而［90，100］段的人數是0.005
1080＝4（人）┉┉┉┉┉┉┉┉8分
不妨設這4個人的成績是95，96，97，98，則事件A＝“2個數恰好是兩個學生的成績”，包括的基本結果有：（95，96），（95，97），（95，98），（96，97），（96，98），（97，98）共6種基本結果。 ┉┉┉┉┉┉┉┉10分
∴P(A)＝
。
┉┉┉┉┉┉┉┉12分
20、解：（1）設等比數列
的首項為
，公比為q。
依題意，有
代入a2+a3+a4=28，得
┉┉┉┉┉┉┉┉2分
∴
∴
解之得
或
┉┉┉┉┉┉┉┉4分
又單調遞增，∴
∴
┉┉┉┉┉┉┉┉6分
（2）
∴
①
∴
②
∴①-②得
＝
┉┉┉┉┉┉┉┉9分
由sn+(n+m)an+1<0，
即
對任意正整數n恒成立，
∴
。 ┉┉┉┉┉┉┉┉10分
對任意正數
恒成立，┉┉┉┉┉┉┉┉11分
∵
即m的取值范圍是
。┉┉┉┉┉┉┉┉12分
21、解：（1）由已知，點P
在橢圓上
∴有
①┉┉┉┉┉┉┉┉1分
又
，M在y軸上，
∴M為P、F2的中點，┉┉┉┉┉┉┉┉2分
∴
.┉┉┉┉┉┉┉┉3分
∴由
， ②┉┉┉┉┉┉┉┉4分
解①②,解得
（
舍去），
∴
故所求橢圓C的方程為
。┉┉┉┉┉┉┉┉6分
（2）∵點
關于直線
的對稱點為
，
∴
┉┉┉┉┉┉┉┉8分
解得
┉┉┉┉┉┉┉┉10分
∴
┉┉┉┉┉┉┉┉11分
∵點P
在橢圓C:上，∴
∴
。
即
的取值范圍為［－10，10］。┉┉┉┉┉┉┉┉12分
22、解：（1）當
時，
∴
。
令
，得
┉┉┉┉┉┉┉┉2分
當
時，
，則
在
上單調遞增;
當
時，
，則在
上單調遞減;
當
時，，則在
上單調遞增; ┉┉┉┉┉4分
∴當
時，取得極大值為
當
時，取得極小值為
。┉┉6分
（2）∵
∴
。┉┉┉┉┉┉┉┉7分
① 若
，則
在R上恒成立，
則在R上單調遞增;
函數的圖象與軸有且只有一個交點，不合題意。┉┉┉┉┉┉9分
② 若
，則
，
有兩個不相等的實根，不妨設為
且
則
當x變化時，
，的取值情況如下表：
X
+
0
－
0
＋
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
∵
，
∴
，┉┉┉┉┉┉┉┉11分
∴
同理，
。
∴
，┉┉┉┉┉┉┉┉13分
令
此時的圖象與x軸有三個不同的交點。
綜上所述，a的取值范圍是（－∞，0）. ┉┉┉┉┉14分
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