2009年安徽省馬鞍山市高中畢業班第三次教學質量檢測
數學（文科）試題
考生注意事項：
1． 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，全卷滿分150分，考試時間120分鐘．
2． 答題前，務必在試題卷、答題卡規定的地方填寫自己的座位號、姓名，并認真核對答題卡上所粘貼的條形碼中“座位號、姓名、科類”與本人座位號、姓名、科類是否一致．
3． 答第Ⅰ卷時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．
4．
答第Ⅱ卷時，必須用
5． 考試結束，監考人員將試題卷和答題卡一并收回．
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).
如果事件A、B相互獨立，那么P(A?B)=P(A)?P(B).
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率：
.
球的表面積公式：
，其中R表示球的半徑.
球的體積公式：
，其中R表示球的半徑.
第I卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的，請在答題卡上將正確選項的代號涂黑.
1.設
為虛數單位，則復數
在復平面內對應的點在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.設集合M=
，N=
,則M
CRN等于
A. 
B. 
C. 
D. 
3．若函數
是周期為
的奇函數，則f（x）可以是
A.cosx B. sinx C. cos2x D.sin2x
4. 下列說法正確的是
A.做n次隨機試驗，事件A發生了m次，則事件A發生的概率為
；
B.樣本容量很大時，頻率分布直方圖就是總體密度曲線；
C.獨立性檢驗是研究解釋變量和預報變量的方法；
D.從散點圖看，如果這些點從整體上看大致分布在一條直線附近，就稱兩個變量之間具有線性相關關系.
5.在面積為S的三角形ABC內隨機取一點M，則三角形MBC的面積
的概率為
A. 
B.
C.
D.
6. 右圖是一個多面體的直觀圖和三視圖如右，
則多面體A－CDEF外接球的表面積是
A.
B.
C.
D.
7．雙曲線
的左、右焦點分別為F1、F2，過F1作傾斜角為45º的直線交雙曲線的右支于M，若MF2⊥x軸，則雙曲線的離心率為
A. 
B. 
C. 
D. 
8. 如果y=f（x）的導函數的圖象如圖所示，給出下列判斷：
①
函數y=f（x）在區間
內單調遞增；
②
函數y=f（x）在區間
內單調遞減；
③ 函數y=f（x）在區間（4，5）內單調遞增；
④
當x=2時，函數y=f（x）有極小值；
⑤
當x=
時，函數y=f（x）有極大值.
則上述判斷中正確的個數為
A.1個 B.2個 C.3個 D.5
9. 右圖是一個算法的程序框圖，當輸入x=3時，
輸出y的結果是0.5，則在計算框中“？”處的
關系式可以是
A. 
B. 
C. 
D. 
10. 已知α、β為兩個互相垂直的平面，a、b為一對異面直線。 給出下面條件：
①a∥α，b
β； ②a⊥α，b//β； ③a⊥α，b⊥β.
其中是a⊥b的充分條件的有
A.② B.③ C.②③ D.①②③
11. 在△ABC中，∠C=90º,
，
，則k的值是
A. 
B. 
C.
D.
5
12.已知
，滿足
，則函數
的圖象在點
處的切線方程為
A. 
B.
C. 
D.
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上.
13.等比數列
中，
，
，則
;
14. 已知變量
滿足條件
，若目標函數
僅在（4，2）處取得最大值，則
的取值范圍是
;
15. 如圖，四邊形ABCD中，
a, 
b,對角線AC與BD交于點O，
若點O為BD的中點，
，則
;
16.過點
的直線
將圓
分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線的斜率k等于 ;
三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
已知函數
（Ⅰ）求
的值;
（Ⅱ）當
時，求
的最大值和最小值.
18.（本小題滿分12分）
在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，
∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E為
PD的中點，PA＝2AB＝2．
（Ⅰ）求四棱錐P－ABCD的體積V；
（Ⅱ）若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF；
19. （本小題滿分12分）
某通道有兩道門，在每道門前的匣子里各有3把鑰匙，其中一把能打開任何一道門，一把只能打開本道門，還有一把不能打開任何一道門.現從第一道門開始，隨機地從門前的匣子里取一把鑰匙開門，若不能進入，就終止；若能進入，再從第二道門前的匣子里隨機地取一把鑰匙，并用已得到的兩把鑰匙開門.
（Ⅰ）求第一道門打不開的概率；
（Ⅱ）求能進入第二道門的概率.
20.（本小題滿分12分）
正項數列滿足
，Sn為其前n項和，且
（n≥1）.
（Ⅰ）求數列的通項公式
（Ⅱ）等比數列
的各項均為正數，其前n項和為Tn，且b1b2b3=8，又
成等差數列，求Tn.
21．(本小題滿分12分)
如圖，已知圓C：
,定點A(1,0),M為圓
C上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足
=
,
?
=0，點N的軌跡為曲線E.
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）若過定點A(1,0)的直線交曲線E于不同的兩點G、H，
且滿足∠GOH為銳角，求直線的斜率k的取值范圍.
22. (本小題滿分14分)
設函數
，若對任意
，都有≥0成立，求實數a的值.
2009年馬鞍山市高中畢業班第三次教學質量檢測
一．選擇題
序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
D
D
C
A
A
C
B
D
A
二填空題
13. 2或8； 14．
；
15．
； 16.
.
三．解答題
17．解：（Ⅰ）
………………………………………………………………4分
…………………………6分
（Ⅱ）
…………………………………………………8分
∴
…………………………………………………………………………10分
………………………………………………………………………………12分
18．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝
，AC＝2．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，AD＝4． ……………………………2分
∴
＝
．………………………………………………………………4分
則V＝
． ……………………………………………………………… 6分
（Ⅱ）∵PA＝CA，F為PC的中點，∴AF⊥PC． ……………………………………8分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E為PD中點，F為PC中點，∴EF∥CD．則EF⊥PC． ………………………………10分
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．………………………………………………………………12分
19．設第一個匣子里的三把鑰匙為A，B，C，第二個匣子里的三把鑰匙為a,b,c(設A,a能打開所有門，B只能打開第一道門，b只能打開第二道門，C,c不能打開任何一道門)
（Ⅰ）第一道門打不開的概率為
；……………………………………………………………5分
（Ⅱ）能進入第二道門的情況有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,而二把鑰匙的不同情況有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc共9種，故能進入第二道門的概率為
……………………………………………………………12分
20.（Ⅰ）依題
即
（
…………………………………………………3分
故
為等差數列，a1=1，d=2
………………………………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）設公比為q，則由b1b2b3=8，bn>0
…………………………………………………6分
又
成等差數列
………………………………………………………………………………………8分
或
…………………………………………………………………………………10分
或
……………………………………………………………………12分
21解：（Ⅰ）依題PN為AM的中垂線
…………………………………………………2分
又C（-1，0），A（1，0）
所以N的軌跡E為橢圓，C、A為其焦點…………………………………………………………4分
a=，c=1，所以
為所求………………………………………………………5分
（Ⅱ）設直線
的方程為：y=k（x-1），代入橢圓E的方程：x2+2y2=2得：
（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0………………（1）
設G（x1，y1）、H（x2，y2），則x1，x2是（1）的兩個根.
…………………………………………………………7分
依題
………………………………………………………9分
解得：
………………………………………………………………………12分
22.解法（一）：
時，
即
……①
⑴
時,
恒成立，
⑵
時，①式化為
……②
⑶
時，①式化為
……③…………………………………………………5分
記
，則
…………………………7分
所以
故由②
，由③
………………………………………………………………………13分
綜上
時，在恒成立.………………………………………………14分
解法（二）：
時， 即……①
⑴
時,
，
，不合題意…………………………………………………2分
⑵
恒成立
∴
在
上為減函數，
得
，矛盾，…………………………………………………………………………………5分
⑶
，
=
若
則
，
，故在［－1,1］內，
，得，矛盾.
若
依題意，
解得
即
綜上為所求.……………………………………………………………………………14分
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