湖北省鄂州市2009屆高三五月模擬試題
數學（理科）
命題人：胡俊峰 審題人：王兆良
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．設
＝(2，－3)，
＝(－4，3)，
＝(5，6)，則(
＋3)?等于
A．(－50，36) B．－
2．“a＝
”是“對任意的正數x，2x＋
≥
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．已知、是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足(－)?(－)＝0，則
的最大值是
A．1 B．
D．
4．如圖，AB＝AC＝BD＝1，AB
M，AC⊥M，
BD⊥AB，BD與面M成30o角，則CD等于
A．1 B．2
C．
D．
5．函數y＝f (x)的反函數為f －1(x)，則函數y＝f (x＋1)＋1的反函數為
A．y＝f －1(x＋1)＋1 B．y＝f －1(x－1)－1
C．y＝f －1(x－1)＋1 D．y＝f －1(x＋1)－1
6．已知f (x)＝
，當θ∈(
π，
π)時，f (sin2θ)－f (－sin2θ)可化簡為
A．2sinθ B．－2cosθ C．2cosθ D．－2sinθ
7．三對夫妻排成一行，夫妻不相鄰的不同排法共有（ ）種
A．360 B．
8．下列函數中在x＝0處連續的是
A．
B．
C．f (x)＝(1＋x)
D．
9．過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F 的直線l從上到下依次交拋物線于點A、B，交其準線于C，若
，
＝3，則拋物線的方程為
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝
10．設
，若對任何x≥0，都有f (x)≤ax，則a∈
A．
B．
C．
D．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在相應位置上。
11．判斷正假（填“真”或“假”）已知復數z1、z2滿足
且z1＋2z2為純虛數，則3z1－z2為實數______________．
12．已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x軸上動點QA、QB分別切⊙M于A、B兩點，則直線AB恒過定點______________．
13．已知數列
滿足a1＝1，an＝a1＋的通項an＝_____________．
14．已知f (x)是R上的函數，且f (x＋2)＝
，若f (1)＝
，則f (2009)＝_______．
15．設a∈R，f (x)＝ax2＋x?a(?1≤x≤1)，當a＝_______時，f (x)max＝
．
三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16．(本小題滿分12分)已知函數
，
．
⑴求f (x)的最值；
⑵若不等式
＜2在
上恒成立，求實數m的取值范圍．
17．（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐P―ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60o，E、F 分別是BC、PC的中點．
⑴證明：AE⊥PD；
⑵若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正
切值為
，求二面角E―AF―C的余弦值．
18．（本小題滿分12分）某工廠生產甲、乙兩種產品，每種產品都是經過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結果相互獨立，每道工序加工結果均有A、B兩個等級，對每種產品，兩道工序的加工結果都為A級時，產品為一等品，其余均為二等品．
⑴已知甲、乙兩種產品第一道工序的加工結果為A級的概率如表一所示，分別求生產出的甲、乙產品為一等品的概率P甲、P乙；
⑵已知一件產品的利潤如表二所示，用ξ、η分別表示一件甲、乙產品的利潤，在⑴的條件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；
⑶已知生產一件產品需用的工人數和資金數如表三所示，該工廠有工人40名，可用資金60萬元，設x、y分別表示生產甲、乙產品的數量，在⑵的條件下，x、y為何值時，z＝xEξ＋yEη最大？最大值是多少？
19．已知兩定點A(－3，0)，B(3，0)，動圓M與直線AB相切于點N，且
，現分別過點A、B作動圓M的切線（異于直線AB），兩切線相交于點P．
⑴求動點P的軌跡方程；
⑵若直線x?my?3＝0截動點P的軌跡所得的弦長為5，求m的值；
⑶設過軌跡上的點P的直線與兩直線
分別交于點P1、P2，且點P分有向線段
所成的比為λ(λ＞0)，當λ∈
時，求
的最值．
20．（本小題滿分13分）數列{an}的各項均為正數，Sn為其前n項和，對于任意n∈N＋總有an，Sn，
成等差數列．
⑴求數列{an}的通項公式；
⑵設數列{bn}的前n項和為Tn，且
．求證：對任意x∈(1，e]和n∈N＋，總有Tn＜2；
⑶正數數列{an}中，an＋1＝(cn)n＋1(n∈N＋)．求數列{cn}中的最大項．
21．（本小題滿分14分）設函數
．
⑴求f (x)的單調區間和極值；
⑵是否存在實數a，使得關于x的不等式f (x)≥a的解集為(0，＋∞)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，試說明理由．
鄂州市2009屆高三五月模擬試題
一、選擇題
1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．D
二、填空題
11．真 12．
13．
14．2＋
15．－2
三、解答題
16．⑴∵
1分
＝
3分
又由
得
∴
5分
故
，f (x)max＝1＋2×1＝3 6分
⑵
＜2在上恒成立
時
9分
結合⑴知：
故m的取值范圍是（1，4） 12分
17．⑴連結AC，△ABC為正△，又E為BC中點，∴AE⊥BC又AD∥BC
∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD
故AD為PD在平面ABCD內的射影，由三垂線定理知：AE⊥PD。 4分
⑵連HA，由EA⊥平面PAD知∠AHE為EH與平面PAD所成線面角 5分
而tan∠AHE＝
故當AH最小即AH⊥PD時EH與平面PAD所成角最大
6分
令AB＝2，則AE＝，此時
∴AH＝
，由平幾知識得PA＝2 7分
因為PA⊥平面ABCD，PA
平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD
過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC
過O作OS⊥AF于S，連結ES，則∠ESO
為二面角E―AF―C的平面角 9分
在Rt△AOE中，EO＝AE?sin30°＝
，AO＝AE?cos30°＝
又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO＝AO?sin45°＝
又SE＝
，在Rt△ESO中，cos∠ESO＝
即所求二面角的余弦值為
12分
注：向量法及其它方法可參照給分。
18．⑴P甲＝0.8×0.85＝0.68，P乙＝0.75×0.8＝0.6 3分
⑵隨機變量ξ、η的分布列如下：
ξ
5
2.5
η
2.5
1.5
P
0.68
0.32
P
0.6
0.4
Eξ＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2，Eη＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1 7分
⑶由題設知
目標函數為z＝xEξ＋yEη＝4.2x＋2.1y 9分
作出可行域（如圖）：
作直線l：4.2x＋2.1y＝0，將l向右上方平移到l1位置時
直線經過可行域上的M點與原點距離最大
此時Z＝4.2x＋2.1y取得最大值，又M(4，4)
即x＝y＝4時，z取最大值25.2。 12分
19．⑴由題設及平面幾何知識得
∴動點P的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線右支由
，
∴b2＝c2－a2＝5，故所求P點的軌跡方程為
3分
⑵易知直線x?my?3＝0恒過雙曲線焦點B(3，0)
設該直線與雙曲線右支相交于D(xD，yD)，E(xE，yE)由雙曲線第二定義知
，又a＝2，c＝3，
∴e＝則
5分
由|DE|＝5，得
，從而易知僅當m＝0時，
滿足|DE|＝5
故所求m＝0 7分
⑶設P(x，y)，P1(x1、y1)，P2(x2、y2)且P分有向線段
所成的比為λ，則
，
又點P(x，y)在雙曲線
上，∴
，化簡得
，
又
，
，∴
9分
令
∵
在
上單減，在
上單增，
又
∴在
上單減，在
上單增，∴umin＝u(1)＝4，
又
，
∴umin＝
故
的最小值為9，最大值為
。
20．⑴由已知，對于n∈N＋總有
①，∴
②
①－②得
∴
∵an＞0，∴
∴數列
是公差為1的等差數列
又n＝1時，
，解得a1＝1，∴an＝n(n∈N＋)。 4分
⑵證明：∵an＝n，則對任意
和
，總有
6分
∴
8分
⑶解：由已知
，
，
，
易得c1＜c2，c2＞c3＞c4＞…猜想n≥2時，
是單調遞減數列 10分
令
，則
∴當x≥3時，f’ (x)<0，故在
內f (x)單減 12分
由an＋1＝(cn)n＋1知
∴n≥2時，
是單減數列，即{cn}是單減數列，又c1<c2
∴{cn}中最大項為
21．⑴
3分
故當x∈(0，1)時
＞0，x∈(1，＋∞)時
＜0
所以
在(0，1)單增，在(1，＋∞)單減 5分
由此知在(0，＋∞)內的極大值為
＝ln2，沒有極小值 6分
⑵(i)當a≤0時，由于
故關于x的不等式
的解集為(0，＋∞) 10分
(ii)當a＞0時，由
知
其中n為正整數，且有
又n≥2時，
且
取整數no滿足no＞－log2(e
－1)，no＞
且no≥2
即
即當a＞0時，關于x的不等式的解集不是(0，＋∞) 13分
綜合(i)、(ii)知，存在a使得關于x的不等式的解集為(0，＋∞)且a的取值范圍為(－∞，0]
法二：
注：事實上，注意到
定義域為(0，＋∞)，只須求之下限
結合(1)，并計算得
故所求a值存在，其范圍是(－∞，0]
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