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（09年湖北鄂州5月模擬理）判斷正假（填“真”或“假”）已知復數z₁、z₂滿足且z₁＋2z₂為純虛數，則3z₁－z₂為實數______________．

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一、選擇題

1．D   2．B   3．C   4．D   5．B   6．C   7．C   8．D   9．C   10．D

二、填空題

11．真　　12．　　13．　　14．2＋　　15．－2

三、解答題

16．⑴∵                                                                               1分

＝                                                                                                 3分

又由得    ∴                            5分

故，f (x)_max＝1＋2×1＝3                                         6分

⑵＜2在上恒成立時        9分

結合⑴知：  故m的取值范圍是（1，4）                        12分

17．⑴連結AC，△ABC為正△，又E為BC中點，∴AE⊥BC又AD∥BC

∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD

故AD為PD在平面ABCD內的射影，由三垂線定理知：AE⊥PD。        4分

⑵連HA，由EA⊥平面PAD知∠AHE為EH與平面PAD所成線面角         5分

而tan∠AHE＝故當AH最小即AH⊥PD時EH與平面PAD所成角最大

                                                                                                               6分

令AB＝2，則AE＝，此時

∴AH＝，由平幾知識得PA＝2                                                          7分

因為PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD

過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC

過O作OS⊥AF于S，連結ES，則∠ESO

為二面角E―AF―C的平面角                                                                 9分

在Rt△AOE中，EO＝AE?sin30°＝，AO＝AE?cos30°＝

又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO＝AO?sin45°＝

又SE＝，在Rt△ESO中，cos∠ESO＝

即所求二面角的余弦值為                                                                                      12分

注：向量法及其它方法可參照給分。

18．⑴P_甲＝0.8×0.85＝0.68，P_乙＝0.75×0.8＝0.6                                         3分

⑵隨機變量ξ、η的分布列如下：

ξ

5

2.5

η

2.5

1.5

P

0.68

0.32

P

0.6

0.4

Eξ＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2，Eη＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1                  7分

⑶由題設知目標函數為z＝xEξ＋yEη＝4.2x＋2.1y               9分

作出可行域（如圖）：

作直線l：4.2x＋2.1y＝0，將l向右上方平移到l₁位置時

直線經過可行域上的M點與原點距離最大

此時Z＝4.2x＋2.1y取得最大值，又M(4，4)

即x＝y＝4時，z取最大值25.2。                                                            12分

19．⑴由題設及平面幾何知識得

∴動點P的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線右支由，

∴b²＝c²－a²＝5，故所求P點的軌跡方程為               3分

⑵易知直線x?my?3＝0恒過雙曲線焦點B(3，0)

設該直線與雙曲線右支相交于D(x_D，y_D)，E(x_E，y_E)由雙曲線第二定義知

，又a＝2，c＝3，

∴e＝則                                                               5分

由|DE|＝5，得，從而易知僅當m＝0時，滿足|DE|＝5

故所求m＝0                                                                                          7分

⑶設P(x，y)，P₁(x₁、y₁)，P₂(x₂、y₂)且P分有向線段所成的比為λ，則

，又點P(x，y)在雙曲線

上，∴，化簡得，

又，，∴         9分

令  ∵在上單減，在上單增，

又    ∴在上單減，在上單增，∴u_min＝u(1)＝4，

又，    ∴u_min＝

故的最小值為9，最大值為。

20．⑴由已知，對于n∈N_＋總有①，∴②

①－②得∴

∵a_n＞0，∴∴數列是公差為1的等差數列

又n＝1時，，解得a₁＝1，∴a_n＝n(n∈N_＋)。                    4分

⑵證明：∵a_n＝n，則對任意和，總有         6分

∴

                                                                                                             8分

⑶解：由已知，，

，

易得c₁＜c₂，c₂＞c₃＞c₄＞…猜想n≥2時，是單調遞減數列    10分

令，則

∴當x≥3時，f’ (x)<0，故在內f (x)單減                             12分

由a_n＋1＝(c_n)^n＋1知

∴n≥2時，是單減數列，即{c_n}是單減數列，又c₁<c₂

∴{c_n}中最大項為

21．⑴                                          3分

故當x∈(0，1)時＞0，x∈(1，＋∞)時＜0

所以在(0，1)單增，在(1，＋∞)單減                                               5分

由此知在(0，＋∞)內的極大值為＝ln2，沒有極小值                 6分

⑵(i)當a≤0時，由于

故關于x的不等式的解集為(0，＋∞)                                          10分

(ii)當a＞0時，由知

其中n為正整數，且有

又n≥2時，且

取整數n_o滿足n_o＞－log₂(e－1)，n_o＞且n_o≥2

即

即當a＞0時，關于x的不等式的解集不是(0，＋∞)                13分

綜合(i)、(ii)知，存在a使得關于x的不等式的解集為(0，＋∞)且a的取值范圍為(－∞，0]

法二：

注：事實上，注意到定義域為(0，＋∞)，只須求之下限

結合(1)，并計算得

故所求a值存在，其范圍是(－∞，0]