湖北省鄂州市2009屆高三五月模擬試題
數(shù)學（文科）
命題人：胡俊峰 審題人：王兆良
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．設學.files/image002.gif)
＝(2，－3)，學.files/image004.gif)
＝(－4，3)，學.files/image006.gif)
＝(5，6)，則(學.files/image008.gif)
＋3)?等于
A．(－50，36) B．－
2．“a＝學.files/image012.gif)
”是“對任意的正數(shù)x，2x＋學.files/image014.gif)
≥
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．曲線y＝x3－x2＋4在點(2，8)處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積是
A．1 B．
4．正方體AC1中，P是棱AD的中點，則二面角A―BD1―P的大小是
A．學.files/image016.gif)
B．學.files/image018.gif)
C．學.files/image020.gif)
D．學.files/image022.gif)
5．若f (x)＝－x2＋2ax與學.files/image024.gif)
在區(qū)間[1，2]上都是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是
A．學.files/image026.gif)
B．學.files/image028.gif)
C．學.files/image030.gif)
D．(0，1) 學.files/image032.jpg)
6．已知f (x)＝學.files/image034.gif)
，當θ∈(學.files/image036.gif)
π，學.files/image038.gif)
π)時，f (sin2θ)－f (－sin2θ)可化簡為
A．2sinθ B．－2cosθ C．2cosθ D．－2sinθ
7．二對夫妻排成一行，夫妻不相鄰的不同排法共有（ ）種
A．6 B．
8．已知樣本：10，8，6，10，13，8，10，12，11，7，8，9，11，9，12，9，10，11，12，12，那么頻率為0.3的范圍是
A．5.5～7.5 B．9.5～
9．過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F 的直線l從上到下依次交拋物線于點A、B，交其準線于C，若學.files/image040.gif)
，學.files/image042.gif)
＝3，則拋物線的方程為
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝學.files/image044.gif)
10．若圓x2＋y2?4x?4y?10＝0上至少有三個不同點到直線l；ax＋by＝0的距離為2學.files/image046.gif)
，則直線l的傾斜角范圍是
A．學.files/image048.gif)
B．學.files/image050.gif)
C．學.files/image052.gif)
D．學.files/image054.gif)
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在相應位置上。
11．一條光線從點(5，3)射入，與x軸正方向成α角，遇x軸后反射，若tanα＝3，則反射光線所在直線方程是______________．
12．已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x軸上動點，QA、QB分別切⊙M于A、B兩點，則直線AB恒過定點______________．
13．已知數(shù)列學.files/image056.gif)
滿足a1＝1，an＝a1＋的通項an＝_____________．
14．已知f (x)是R上的函數(shù)，且f (x＋2)＝學.files/image059.gif)
，若f (1)＝學.files/image061.gif)
，則f (2009)＝_______．
15．若直角三角形的周長為學.files/image063.gif)
．則它的最大面積為_______________．
三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16．（本小題滿分12分）已知函數(shù)學.files/image065.gif)
，學.files/image067.gif)
．
⑴求f (x)的最值；
⑵若不等式學.files/image069.gif)
＜2在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
17．（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐P―ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60o，E、F分別是BC、PC的中點．
學.files/image071.gif)
⑴證明：AE⊥PD；
⑵若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為學.files/image073.gif)
，求二面角E―AF―C的余弦值．
18．（本小題滿分12分）當使用一儀器去測量一個高為
測量值
次數(shù)
5
15
10
15
5
⑴根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求測量50次的平均值；
⑵若再用此儀器測量該建筑物一次，求測得數(shù)據(jù)為
⑶假如再使用此儀器測量該建筑物三次，求恰好兩次測得數(shù)據(jù)為
學.files/image075.gif)
19．（本小題滿分12分）如圖所示，將邊長為2的正三角形鐵皮的三個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正三棱柱容器，要求正三棱柱容器的高x與底面邊長之比不超過正常數(shù)t．
⑴把正三棱柱容器的容積V表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域；
⑵x為何值時，容積V最大？并求最大值．
20．（本小題滿分13分）設f (x)＝學.files/image077.gif)
，方程f (x)＝x有唯一解，數(shù)列{xn}滿足f (x1)＝1，
xn＋1＝f (xn)(n∈N*)．
⑴求數(shù)列{xn}的通項公式；
⑵已知數(shù)列{an}滿足學.files/image079.gif)
，學.files/image081.gif)
，求證：對一切n≥2的正整數(shù)都滿足學.files/image083.gif)
．
21．（本小題滿分14分）已知橢圓的中心為坐標原點，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，向量學.files/image085.gif)
與向量學.files/image087.gif)
共線．
⑴求橢圓的離心率；
⑵設M為橢圓上任意一點，且學.files/image089.gif)
．證明：λ2＋μ2為定值．
鄂州市2009屆高三五月模擬試題
一、選擇題
1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．D
二、填空題
11．學.files/image091.gif)
12．學.files/image093.gif)
13．學.files/image095.gif)
14．2+學.files/image097.gif)
15．學.files/image099.gif)
三、解答題
16．⑴∵學.files/image101.gif)
1分
＝學.files/image103.gif)
3分
又由學.files/image105.gif)
得學.files/image107.gif)
∴學.files/image109.gif)
5分
故學.files/image111.gif)
，f (x)max＝1+2×1＝3 6分
⑵學.files/image113.gif)
＜2在上恒成立學.files/image116.gif)
時學.files/image118.gif)
9分
結(jié)合⑴知：學.files/image120.gif)
故m的取值范圍是（1，4） 12分
17．⑴連結(jié)AC，△ABC為正△，又E為BC中點，∴AE⊥BC又AD∥BC
∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD
故AD為PD在平面ABCD內(nèi)的射影，由三垂線定理知：AE⊥PD。 4分
⑵連HA，由EA⊥平面PAD知∠AHE為EH與平面PAD所成線面角 5分
而tan∠AHE＝學.files/image122.gif)
故當AH最小即AH⊥PD時EH與平面PAD所成角最大
6分
令AB＝2，則AE＝，此時學.files/image125.gif)
∴AH＝學.files/image127.gif)
，由平幾知識得PA＝2 7分
因為PA⊥平面ABCD，PA學.files/image129.gif)
平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD
過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC
過O作OS⊥AF于S，連結(jié)ES，則∠ESO
為二面角E―AF―C的平面角 9分
在Rt△AOE中，EO＝AE?sin30o＝學.files/image131.gif)
，AO＝AE?cos30o＝學.files/image133.gif)
又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO＝AO?sin45o＝學.files/image135.gif)
又SE＝學.files/image137.gif)
，在Rt△ESO中，cos∠ESO＝學.files/image139.gif)
即所求二面角的余弦值為學.files/image141.gif)
12分
注：向量法及其它方法可參照給分。
18．⑴設平均數(shù)為學.files/image143.gif)
，學.files/image145.gif)
即測量50次的平均值為
⑵學.files/image147.gif)
7分
⑶每一次測得數(shù)據(jù)為學.files/image149.gif)
10分
故所求概率學.files/image151.gif)
12分
19．⑴容器底面是邊長為(2－2x)的正三角形，高為x
∴學.files/image153.gif)
∴學.files/image155.gif)
故定義域為學.files/image157.gif)
⑵學.files/image159.gif)
，學.files/image161.gif)
5分
令V'＝0得x＜學.files/image163.gif)
或x＞1；V'＜0得學.files/image165.gif)
∴V在(0，)和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(，1)上單調(diào)遞減
當學.files/image168.gif)
時，x＝時，V最大，Vmax＝V()＝學.files/image170.gif)
當學.files/image172.gif)
即學.files/image174.gif)
時，由V在(0，)上遞增知
x＝學.files/image176.gif)
時，V最大，Vmax＝學.files/image178.gif)
20．⑴由學.files/image180.gif)
得ax2＋(
∴當且僅當學.files/image182.gif)
時，有唯一解x＝0，∴學.files/image184.gif)
當學.files/image186.gif)
得x1＝2，由學.files/image188.gif)
∴數(shù)列學.files/image190.gif)
是首項為學.files/image192.gif)
，公差為學.files/image194.gif)
的等差數(shù)列
∴學.files/image196.gif)
7分
⑵學.files/image198.gif)
又學.files/image200.gif)
∴學.files/image202.gif)
且an＞0，a2＝學.files/image204.gif)
∴學.files/image206.gif)
即學.files/image208.gif)
當n≥2時，學.files/image210.gif)
學.files/image212.gif)
學.files/image214.gif)
故學.files/image216.gif)
21．⑴設橢圓方程為學.files/image218.gif)
，F(xiàn)(c，0)
則AB∶y＝x－c代入學.files/image220.gif)
得(a2＋b2)x2－
令A(x1、y1)、B(x2、y2)，則學.files/image222.gif)
由學.files/image224.gif)
與學.files/image226.gif)
共線
得3(y1＋y2)＋(x1＋x2)＝0，又y1＝x1－c，y2＝x2－c
∴3(x1＋x2－學.files/image228.gif)
∴學.files/image230.gif)
即a2＝3b2，故學.files/image232.gif)
7分
⑵由⑴知a2＝3b2，橢圓方程可化為x2＋3y2＝3b2
設學.files/image235.gif)
＝(x，y)，則(x，y)＝λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)
∴學.files/image237.gif)
∵M(x，y)在橢圓上
∴(λx1＋μx2)2＋(λy2＋μy2)2＝3b2
即λ2(x12＋3y12)＋μ2(3x22＋3y22)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2 ①
由⑴知，x1＋x2＝學.files/image239.gif)
，a2＝學.files/image241.gif)
，b2＝學.files/image243.gif)
∴x1x2＝學.files/image245.gif)
∴x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(x1－c)(x2－c)＝4x1x2－3(x1＋x2)c＋
＝學.files/image247.gif)
又x12＋3y12＝3b2，x22＋3y22＝3b2代入①得λ2＋μ2＝1 14分
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