Question

【題目】如圖所示，豎直平面內有足夠長、不計電阻的兩組平行光滑金屬導軌，寬度均為L=0.5m，上方連接一個阻值R=1Ω的定值電阻，虛線下方的區域內存在垂直紙面向里的磁感應強度B=2T的勻強磁場。完全相同的兩根金屬桿1和2靠在導軌上，金屬桿長與導軌等寬且與導軌接觸良好，電阻均為r =0.5Ω。將金屬桿1固定在磁場的上邊緣（仍在此磁場內），金屬桿2從磁場邊界上方h0=0.8m處由靜止釋放，進入磁場后恰作勻速運動。（g取10m/s2）求：

(1)金屬桿的質量m；

(2)若金屬桿2從磁場邊界上方h1=0.2m處由靜止釋放，進入磁場下落一段距離后做勻速運動。在金屬桿2加速的過程中整個回路產生了1.4J的電熱。求此過程中流過電阻R的電荷量q；

(3)若金屬桿2仍然從磁場邊界上方h1=0.2m處由靜止釋放，在金屬桿2進入磁場的同時釋放金屬桿1，試求兩根金屬桿各自的最大速度。

Answer 1

【答案】(1) m=0.2kg(2)q =0.65C(3) v1=1m/s，v2=3m/s

【解析】

金屬桿2進入磁場前做自由落體運動，由運動學公式求出進入磁場時的速度v，進入磁場后做勻速運動，重力與安培力平衡，由E=BLv求出感應電動勢，由歐姆定律求出電流，由安培力公式求出安培力，最后有平衡條件求出m；金屬桿2進入磁場經過一段時間后開始勻速運動，速度大小仍等于v．根據能量守恒求出h2，由法拉第電磁感應定律求出感應電動勢，由歐姆定律求出電流，最后由電流的定義式求出電量q；釋放金屬桿1后，兩桿受力情況相同，且都向下加速運動，合力等于零時速度最大．根據平衡條件得到兩桿速度之和．由于兩個金屬桿任何時刻受力情況相同，任何時刻兩者量也相的加速度也都相同，在相同時間內速度的增同，根據速度增量相同，得到速度的關系，聯立求解兩桿的最大速度

(1)金屬桿2進入磁場前做自由落體運動，進入磁場的速度：

金屬桿2進入磁場后切割磁感線，回路中產生感應電流，有感應電動勢E=BLvm，感應電流

金屬桿恰做勻速運動，受安培力和重力平衡：mg=BIL

解出m===0.2kg

(2)金屬桿2自由下落h1，進入磁場，做加速運動，設金屬桿2在磁場內下降h2后達到勻速運動，在加速的過程中，部分機械能轉化為電能產生電熱，有mg(h1+h2)=+Q

可得h2=1=1.3m

金屬桿2進入磁場到勻速運動的過程中，

解出流過電阻的電量：q== C =0.65C

(3)金屬桿2剛進入磁場時的速度v==m/s=2m/s

金屬桿2進入磁場同時釋放金屬桿1后，回路中有感應電流，兩桿都受安培力和重力，且受力情況相同，都向下做加速運動，隨速度增大，感應電流增大，安培力增大，直到安培力和重力相等時，速度達到最大。

金屬桿1和2產生的感應電動勢為E1=BLv1，E2=BLv2

感應電流為　

達到最大速度時桿的重力等于安培力mg=BIL

整理得到：v1+ v2==4 m/s

因為兩個金屬桿任何時刻受力情況相同，因此任何時刻兩者的加速度也都相同，在相同時間內速度的增量也必相同，即：v1－0 =v2－v

代入數據得v2= v1+2

聯立求出：v1=1m/s，v2=3m/s