Question

（2010?泰安二模）如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點，彈簧處于自然狀態時其右端位于B點．水平桌面右側有一豎直放置的光滑圓弧形軌道MNP，其半徑R=0.8m，OM為水平半徑，ON為豎直半徑，P點到桌面的豎直距離也是R，∠PON=45°第一次用質量m₁=1.1kg的物塊（可視為質點）將彈簧緩慢壓縮到C點，釋放后物塊停在B點（B點為彈簧原長位置），第二次用同種材料、質量為m₂=0.1kg的物塊將彈簧也緩慢壓縮到C點釋放，物塊過B點后做勻減速直線運動，其位移與時間的關系為x=6t-2t²（m），物塊從桌面右邊緣D點飛離桌面后，由P點沿圓軌道切線落入圓軌道．（g=10m/s²，不計空氣阻力）求：
（1）BC間的距離；
（2）m₂由B運動到D所用時間；
（3）物塊m₂運動到M點時，m₂對軌道的壓力．

Answer 1

分析：（1）物塊離開B點時的運動關系，可知物體運動的初速度和加速度，通過牛頓第二定律可求出摩擦因數，在BC段時，由動能定理可求出BC的長度．
（2）知道從D到P下降的高度，可知在豎直方向的速度，因為物體從P點進入圓弧軌道，在P點時tan 45°=

vy

vD

，可知 從D點拋出時的速度，利用運動學公式可求出在BD運動的時間．
（3）物塊從P點到M點，由機械能守恒可求出M點的速度，由支持力提供向心力可求得支持力．

解答：解：（1）由x=6t-2t²知
v_B=6 m/s　a=-4 m/s² 
m₂在BD上運動時-m₂gμ=m₂a
解得μ=0.4 
設彈簧長為AC時，彈簧的彈性勢能為E_p
m₁釋放時E_p=μm₁gs_BC 
m₂釋放時E_p=μm₂gs_BC+

1

2

m₂v_B²  
解得s_BC=0.5 m
（2）設m₂由D點拋出時速度為v_D，落到P點的豎直速度為v_y
在豎直方向v_y²=2gR，解得v_y=

2gR

=4 m/s 
在P點時tan 45°=

vy

vD

 
解得v_D=4 m/s 
m₂由B到D所用的時間t=

vD-vB

a

=0.5 s 
（3）m₂由P運動到M的過程，由機械能守恒定律得
m₂v_P²+m₂g（R-Rcos 45°）=

1

2

m₂v_M²+m₂gR 
在M點時，對m₂受力分析，由牛頓第二定律得
F_N=m

vM2

R

解得F_N=（4-

2

） N
由牛頓第三定律知，小球對軌道的壓力為（4-

2

） N
答：（1）BC間的距離0.5 m；
（2）m₂由B運動到D所用時間0.5 s；
（3）物塊m₂運動到M點時，m₂對軌道的壓力為（4-

2

） N．

點評：該題是平拋運動、圓周運動的綜合題，該題中要熟練掌握機械能守恒定律，能量守恒定律，以及圓周運動的臨界問題．