Question

（2009?廣東）如圖所示，一個豎直放置的圓錐筒可繞其中心軸OO′轉動，同內壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為R和H，筒內壁A點的高度為筒高的一半，內壁上有一質量為m的小物塊，求：
①當筒不轉動時，物塊靜止在筒壁A點受到的摩擦力和支持力的大小；
②當物塊在A點隨筒做勻速轉動，且其所受到的摩擦力為零時，筒轉動的角速度．

Answer 1

分析：（1）當筒不轉動時，物塊受到重力、筒壁A的摩擦力和支持力作用，根據平衡條件求解．角度由數學知識求出．
（2）當物塊在A點隨筒做勻速轉動，且其受到的摩擦力為零時，由重力和支持力的合力提供物塊的向心力，由牛頓第二定律求解．

解答：解：（1）設圓錐母線與水平方向的夾角為θ．當筒不轉動時，物塊靜止在筒壁A點時受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，
   由平衡條件得
     摩擦力的大小：f=mgsinθ=

mgH

H2+R2

     支持力的大小：N=mgcosθ=

mgR

H2+R2

；
   （2）當物塊在A點隨筒做勻速轉動，且其所受到的摩擦力為零時，物塊在筒壁A點時受到的重力和支持力作用，它們的合力提供向心力，設筒轉動的角速度為ω有
   mgtanθ=mω²

R

2

由幾何關系得  tanθ=

H

R

   聯立解得ω=

2gH

R

答：（1）當筒不轉動時，物塊靜止在筒壁A點受到的摩擦力為

mgH

H2+R2

，
                   支持力的大小為

mgR

H2+R2

；
    （2）當物塊在A點隨筒做勻速轉動，且其受到的摩擦力為零時，筒轉動的角速度為

2gH

R

．

點評：本題是圓錐擺類型．關于向心力應用的基本方程是：指向圓心的合力等于向心力，其實是牛頓第二定律的特例．