Question

如圖所示，兩根與水平面成θ=30°角的足夠長光滑金屬導軌平行放置，導軌間距為L=1m，導軌底端接有阻值為1Ω的電阻R，導軌的電阻忽略不計．整個裝置處于勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌平面斜向上，磁感應強度B=1T．現有一質量為m=0.2kg、電阻不計的金屬棒用細繩通過光滑滑輪與質量為M=0.5kg的物體相連，細繩與導軌平面平行．將金屬棒與M由靜止釋放，棒沿導軌運動了2m后開始做勻速運動．運動過程中，棒與導軌始終保持垂直接觸．（取重力加速度g=10m/s²）求：
（1）金屬棒勻速運動時的速度；
（2）棒從釋放到開始勻速運動的過程中，電阻R上產生的焦耳熱；
（3）若保持某一大小的磁感應強度B₁不變，取不同質量M的物塊拉動金屬棒，測出金屬棒相應的做勻速運動的v值，得到實驗圖象如圖所示，請根據圖中的數據計算出此時的B₁；
（4）改變磁感應強度的大小為B₂，B₂=2B₁，其他條件不變，請在坐標圖上畫出相應的v-M圖線，并請說明圖線與M軸的交點的物理意義．

Answer 1

分析：（1）金屬棒勻速運動時，受力平衡，繩子的拉力大小等于Mg，由平衡條件和安培力公式F_A=

B2L2v

R

求解速度．
（2）金屬棒上滑的過程中，M的重力勢能減小轉化為m的重力勢能、M和m的動能及電路中的內能，根據能量守恒定律求解電阻R上產生的焦耳熱；
（3）由（1）中速度與質量的關系式，分析圖象的斜率與截距的意義，求解B₁．
（4）對照圖象斜率的意義，結合數學知識求解即可．

解答：解：（1）金屬棒受力平衡，所以
  Mg=mgsinθ+BIL  ①
又I=

BLv

R

 ②
所求速度為：v=

(M-msinθ)gR

B2L2

=4 m/s
（2）對系統，由能量守恒有：
 Mgs=mgssinθ+Q+

1

2

（M+m）v² ③
所求熱量為：Q=Mgs-mgs sin θ-

1

2

（M+m）v²=2.4 J
（3）由上（2）式變換成速度與質量的函數關系為：
v=

(M-msinθ)gR

B2L2

=

gR

B2L2

M-

mgRsinθ

B2L2

 ④
再由圖象可得：

gR

B2L2

=

10

0.3

，
所以 B₁=0.54 T
（4）由上④式的函數關系可知，當B₂=2B₁時，圖線的斜率減小為原來的

1

4

．
與M軸的交點不變，與M軸的交點為m sinθ．在坐標圖上畫出相應的v-M圖線，如圖紅線所示．
答：
（1）金屬棒勻速運動時的速度為4m/s；
（2）棒從釋放到開始勻速運動的過程中，電阻R上產生的焦耳熱是2.4J；
（3）根據圖中的數據計算出此時的B₁為0.54T．
（4）在坐標圖上畫出相應的v-M圖線如圖所示，圖線與M軸的交點的物理意義為m sinθ．

點評：本題中根據物理規律得到解析式，再分析圖象的數學意義，采用數學上數形結合的方法．