Question

已知地球的自轉周期和半徑分別為T和R，地球同步衛星A的圓軌道半徑為h。衛星B沿半徑為r（r＜h）的圓軌道在地球赤道的正上方運行，其運行方向與地球自轉方向相同。求：
（1）衛星B做圓周運動的周期；
（2）衛星A和B連續地不能直接通訊的最長時間間隔（信號傳輸時間可忽略）。

Answer 1

（1）；（2）（arcsin＋arcsin）T

試題分析：（1）設衛星B繞地心轉動的周期為T′，地球質量為M，衛星A、B的質量分別為m、m′，根據萬有引力定律和圓周運動的規律有：
＝mh       ①
＝m′r           ②
聯立①②兩式解得：T′＝               ③
（2）設衛星A和B連續地不能直接通訊的最長時間間隔t，在時間間隔t內，衛星A和B繞地心轉過的角度分別為α和β，則：α＝×2π，β＝×2π                                                           ④
若不考慮衛星A的公轉，兩衛星不能直接通訊時，衛星B的位置應在下圖中B點和B′點之間，圖中內圓表示地球的赤道。

由圖中幾何關系得：∠BOB′＝2（arcsin＋arcsin）         ⑤
由③式知，當r＜h時，衛星B比衛星A轉得快，考慮衛星A的公轉后應有：β－α＝∠BOB′       ⑥
由③④⑤⑥式聯立解得：t＝（arcsin＋arcsin）T