Question

【題目】如圖所示，質量M=0.2 kg、長L=1 m的長木板放在地面上，質量m=0.8 kg的小滑塊在長木板左端，豎直嵌有四分之三光滑圓弧軌道的底座固定在地面上，圓弧軌道最低點P的切線水平且與長木板上表面相平，長木板右端與底座左端相距x=1m。現用水平向右外力F=6 N作用在小滑塊上，小滑塊到達P點后撤去外力F，小滑塊沿著圓弧軌道運動。長木板與底座相碰時，立即粘在底座上。己知滑塊與長木板、長木板與地面間的動摩擦因數分別為μ1=0.4和μ2=0.15，重力加速度g=10m/s2。假設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，求：

(1)在長木板與底座相碰前，試判斷長木板與小滑塊是否發生相對滑動，并求出長木板和小滑塊加速度的大小；

(2)小滑塊到達P點時速度的大小；

(3)若要使小滑塊沿圓弧軌道上滑過程中不脫離軌道，豎直圓弧軌道的半徑R應該滿足什么條件？

Answer 1

【答案】(1)不發生相對滑動，均為a=4.5m/s2； (2) 4m/s；(3) 0＜R≤0.32 m或R≥0.8 m。

【解析】

(1)在長木板與底座相碰前，假設M與m相對靜止，一起加速，設加速度為a，小滑塊與長木板間靜摩擦力為f1，則

解得

即 ，假設成立，不發生相對滑動；

(2)設長木板撞擊底座時，長木板和小滑塊共同速度為v1，之后，小滑塊在長木板上運動，設加速度為a1，到達P點的速度為v2，則

解得

(3)情況一：小滑塊滑上軌道從圓弧軌道的Q點離開，即能夠達到圓弧軌道最高點，設圓弧軌道半徑最大為Rm，小滑塊在最高點的速度大小為vm，則

解得

情況二：小球上滑至與圓心等高處時，速度減為零，然后滑回最低點。則由動能定理有：

解得：

故要使小滑塊不脫離軌道，豎直圓周軌道半徑應該滿足或。