Question

隨著越來越高的摩天大樓在各地的落成，至今普遍使用的鋼索懸掛式電梯已經漸漸地不適用了。這是因為鋼索的長度隨著樓層的增高而相應增加，這樣這些鋼索會由于承受不了自身的重量，還沒有掛電梯就會被扯斷為此，科學技術人員正在研究用磁動力來解決這個問題。如圖所示就是一種磁動力電梯的模擬機，即在豎直平面上有兩根很長的平行豎直軌道，軌道間有垂直于軌道平面的勻強磁場B₁和B₂，且B₁和B₂的大小相等，方向相反，即B₁=B₂=1 T，兩磁場始終豎直向上做勻速運動，電梯轎廂固定在如圖所示的一個用超導材料制成的金屬框abcd內（電梯轎廂在圖中未畫出），并且與之絕緣。電梯載人時的總質量為5×10³ kg，所受阻力F_f=500 N，金屬框垂直于軌道的邊長L_cd=2 m，兩磁場的寬度均與金屬框的邊長L_ad相同，金屬框在整個回路的電阻R=9.5×10^-4 Ω，假如設計要求電梯以v₁=10 m/s的速度向上勻速運動，g=10 m/s²，那么：
（1）磁場向上運動速度v₀應該為多大？
（2）在電梯向上做勻速運動時，為維持它的運動，外界必須提供能量，這些能量是由誰提供的？此時系統的效率為多少？

Answer 1

解：（1）當電梯向上勻速運動時，感應電動勢為E=2B₁L_cd（v₀-v₁）
金屬框中感應電流大小為
金屬框所受安培力F=2B₁IL_cd
安培力大小與重力、阻力之和相等，所以F=mg+F_f
求得：v₀=13 m/s
（2）這些能量是由磁場提供的
磁場提供的能量分為兩部分，一部分轉變為金屬框的內能，另一部分克服電梯的重力和阻力做功
當電梯向上做勻速運動時，金屬框中感應電流由（1）知：I=1.26×10⁴ A
金屬框中的熱功率為：P₁=I²R=1.51×10⁵W
而電梯的有用功率為：P₂=mgv₁=5×10⁵W
阻力的功率為：P₃= Ffv₁=5×10³ W
從而系統的效率