Question

（2011?懷柔區模擬）隨著越來越高的摩天大樓在世界各地的落成，而今普遍使用的鋼索懸掛式電梯已經不適應現代生活的需求．這是因為鋼索的長度隨著樓層的增高而相應增加，這些鋼索會由于承受不了自身的重力，還沒有掛電梯就會被拉斷．為此，科學技術人員開發一種利用磁力的電梯，用磁動力來解決這個問題．如圖所示是磁動力電梯示意圖，即在豎直平面上有兩根很長的平行豎直軌道，軌道間有垂直軌道平面交替排列的勻強磁場B₁和B₂，B₁=B₂=1.0T，B₁和B₂的方向相反，兩磁場始終豎直向上作勻速運動．電梯轎廂固定在如圖所示的金屬框abcd內（電梯轎廂在圖中未畫出），并且與之絕緣．已知電梯載人時的總質量為4.75×10³kg，所受阻力f=500N，金屬框垂直軌道的邊長L_cd=2.0m，兩磁場的寬度均與金屬框的邊長L_ad相同，金屬框整個回路的電阻R=9.0×10^-4Ω，g取10m/s²．假如設計要求電梯以v₁=10m/s的速度勻速上升，求：
（1）金屬框中感應電流的大小及圖示時刻感應電流的方向；
（2）磁場向上運動速度v₀的大小；
（3）該磁動力電梯以速度v₁向上勻速運動時，提升轎廂的效率．

Answer 1

分析：金屬框勻速上升時，ab、cd兩均切割磁感線產生感應電動勢，兩邊均受到安培力，根據平衡條件和右手定則可確定感應電流的大小和方向．由歐姆定律和感應電動勢公式求出磁場向上運動速度v₀的大小．根據功率公式求出重力、阻力和的熱功率，進而求出效率．

解答：解：設B₁=B₂=B，L_ab=L_cd=L
（1）由于金屬框勻速運動，則金屬框受到的安培力等于重力與阻力之和，
     設當電梯向上用勻速運動時，金屬框中感應電流大小為I
         根據平衡條件得F_安=mg+f ①
           又F_安=2BIL           ②
      由①②式解得，金屬框中感應電流I=1.2×10⁴A
      由于磁場向上運動，相當于金屬框向下運動，由右手定則得到圖示時刻回路中感應電流沿逆時針方向．
    （2）金屬框中感應電動勢E=2BL（v₀-v₁）           ③
      金屬框中感應電流大小I=

2BL(v0-v1)

R

         ④
      由③④式得v₀=12.7m/s                       
    （3）金屬框中的熱功率為：P₁=I²R=1.3×10⁵W
        重力功率為：P₂=mgv₁=4.75×10⁵W         
        阻力的功率為：P₃=fv₁=5×10³W        
        則提升轎廂的效率η=

P2

P1+P2+P3

×100%=77.9%
答：（1）金屬框中感應電流的大小為1.2×10⁴A，圖示時刻感應電流的方向沿逆時針方向；
    （2）磁場向上運動速度v₀的大小為12.7m/s；
    （3）提升轎廂的效率為77.9%．

點評：本題是理論聯系實際的問題，與磁懸浮列車模型類似，關鍵要注意磁場運動，線框相對于磁場向下運動，而且上下兩邊都切割磁感線，產生兩個電動勢，兩個邊都受安培力．