Question

【題目】如圖所示，一根輕彈簧左端固定于豎直墻上，右端被質(zhì)量可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊壓縮而處于靜止?fàn)顟B(tài)，且彈簧與物塊不栓接，彈簧原長小于光滑平臺的長度。在平臺的右端有一傳送帶，AB長，物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)，與傳送帶相鄰的粗糙水平面BC長，它與物塊間的動摩擦因數(shù)，在C點(diǎn)右側(cè)有一半徑為R的光滑豎直圓弧與BC平滑連接，圓弧對應(yīng)的圓心角為，在圓弧的最高點(diǎn)F處有一固定擋板，物塊撞上擋板后會以原速率反彈回來。若傳送帶以的速率順時(shí)針轉(zhuǎn)動，不考慮物塊滑上和滑下傳送帶的機(jī)械能損失。當(dāng)彈簧儲存的能量全部釋放時(shí)，小物塊恰能滑到與圓心等高的E點(diǎn)，取。

（1）求右側(cè)圓弧的軌道半徑為R；

（2）求小物塊最終停下時(shí)與C點(diǎn)的距離；

（3）若傳送帶的速度大小可調(diào)，欲使小物塊與擋板只碰一次，且碰后不脫離軌道，求傳送帶速度的可調(diào)節(jié)范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）物塊被彈簧彈出，由，可知：

因?yàn)?/span>，故物塊滑上傳送帶后先減速物塊與傳送帶相對滑動過程中，

由：，，

得到：，，

因?yàn)?/span>，故物塊與傳送帶同速后相對靜止，最后物塊以的速度滑上水平面BC，物塊滑離傳送帶后恰到E點(diǎn)，由動能定理可知：

代入數(shù)據(jù)整理可以得到：。

（2）設(shè)物塊從E點(diǎn)返回至B點(diǎn)的速度為，由

得到，因?yàn)?/span>，故物塊會再次滑上傳送帶，物塊在恒定摩擦力的作用下先減速至0再反向加速，由運(yùn)動的對稱性可知其以相同的速率離開傳送帶，設(shè)最終停在距C點(diǎn)x處，由，得到：.

（3）設(shè)傳送帶速度為時(shí)物塊能恰到F點(diǎn)，在F點(diǎn)滿足

從B到F過程中由動能定理可知：

解得：

設(shè)傳送帶速度為時(shí)，物塊撞擋板后返回能再次上滑恰到E點(diǎn)，

由：

解得：

若物塊在傳送帶上一直加速運(yùn)動，由

知其到B點(diǎn)的最大速度

綜合上述分析可知，只要傳送帶速度就滿足條件。