Question

如圖所示，一個帶有1/4圓弧的粗糙滑板A，總質量為m_A=3kg，其圓弧部分與水平部分相切于P，水平部分PQ長為L=3.75m．開始時A靜止在光滑水平面上，有一質量為m_B=2kg的小木塊B從滑板A的右端以水平初速度v₀=5m/s滑上A，小木塊B與滑板A之間的動摩擦因數為μ=0.15，小木塊B滑到滑板A的左端并沿著圓弧部分上滑一段弧長后返回最終停止在滑板A上．
（1）求A、B相對靜止時的速度大小；
（2）若B最終停在A的水平部分上的R點，P、R相距1m，求系統在該運動過程中產生的內能；
（3）若圓弧部分光滑，且除v₀不確定外其他條件不變，討論小木塊B在整個運動過程中，是否有可能在某段時間里相對地面向右運動？如不可能，說明理由；如可能，試求出B既能向右滑動、又不滑離木板A的v₀取值范圍．（取g=10m/s²，結果可以保留根號）

Answer 1

分析：（1）小木塊B從開始運動直到A、B相對靜止的過程中，系統水平方向不受外力，水平方向上動量守恒，根據水平方向動量守恒求解A、B相對靜止時的速度大小；
（2）若B最終停在A的水平部分上的R點，系統的機械能減小，轉化為系統的內能，根據能量守恒定律求解系統在該運動過程中產生的內能；
（3）根據系統的動量守恒和能量結合分析B既能向右滑動、又不滑離木板A的v₀取值范圍．

解答：解：（1）小木塊B從開始運動直到A、B相對靜止的過程中，系統水平方向上動量守恒，有
   m_Bv₀=（m_B+m_A）v  ①
解得  v=

2

5

v0=2 m/s     ②
（2）由能量關系得到 Q=

1

2

mB

v

2 0

-

1

2

(mB+mA)v2=15J ③
（3）設小木塊B下滑到P點時速度為v_B，同時A的速度為v_A，由動量守恒和能量關系可以得到      
   m_Bv₀=m_Bv_B+m_Av_A ④
 

1

2

mBv02=

1

2

mBvB2+

1

2

mAvA2+μmBgL ⑤
由⑥⑦兩式可以得到5v_B²-4v₀v_B-v₀²+0.9gL=0，得 vB=

4v0- 36v02-18gL

10

＜0，
  化簡后為v₀²＞0.9gL  ⑥
若要求B最終不滑離A，由能量關系必有   μmBg?2L≥

1

2

mBv02-

1

2

(mB+mA)v2  ⑦
化簡得    v₀²≤gL⑧
故B既能對地向右滑動，又不滑離A的條件為  0.9gL＜v₀²≤gL   ⑨
即

3

2

15

m/s＜v0≤

37.5

m/s，解得，5.8m/s＜v₀≤6.1m/s      ⑩
答：（1）A、B相對靜止時的速度大小是2m/s；
（2）系統在該運動過程中產生的內能是15J．
（3）B既能對地向右滑動，又不滑離A的條件為5.8m/s＜v₀≤6.1m/s．

點評：解決第2題首先要清楚研究對象的運動過程．我們要清楚運動過程中能量的轉化，以便從能量守恒角度解決問題．把動量守恒和能量守恒結合起來列出等式求解是常見的問題．