Question

【題目】質點或光滑球以某一角度入射到硬質表面上發生的反跳，通常呈現“反射角等于入射角”的現象．但是對于一種粗糙的硬質橡皮球，當其與硬質表面碰撞且滿足動能守恒時，它在反跳過程中卻表現出許多奇異的現象，這種粗糙的高彈性人造硬質橡皮球稱為超級彈性球，簡稱為超球．這種超球在硬質表面上的反跳幾乎是完全彈性的，用它可以直觀地演示粗糙物的彈性碰撞現象．試回答下列問題：

（1）若將一個小超球放在一個大超球的頂上，讓這兩個超球一起自由下落并撞擊地面，就會發現小超球又跳回到空中，如果大超球與小超球的半徑之比選擇適當，那么小超球將反跳的高度大約是原先下落高度的9倍，如圖1所示．若將大超球、小超球和乒乓球緊貼在一起自由下落，如圖2所示，如果這些球的質量選擇恰當，那么在它們碰撞地面后，乒乓球將反跳的高度幾乎是原先下落高度的49倍．試建立力學模型進行說明

（2）如果超球以一定的速度和繞水平軸旋轉的角速度與硬質地面碰撞，旋轉的超球在、兩點之間來回反跳，如圖3所示．試說明發生這種現象的條件

Answer 1

【答案】（1）說明見解析 （2）說明見解析

【解析】

（1）在大超球碰撞地面之前，兩超球均自由下落，它們之間未發生碰撞，大超球先與地面相碰撞，隨后立即與小超球發生碰撞，假設大超球與地面以及超球間的碰撞都是完全彈性的．兩超球自由下落結束時，都有向下的速度，由機械能守恒可得；大超球與地面彈性碰撞后，速度大小不變，方向向上．設大超球與小超球彈性碰撞后的速度大小分別為和，且方向向上．由動量守恒和機械能守恒，可得

①

②

式中，為大超球的質量；為小超球的質量

由式①與式②，可解得， ③

碰撞后小超球以初速度為豎直向上運動，由機械能守恒可得小超球反跳的高度：

④

即得 ⑤

若選擇大超球半徑為小超球半徑的10倍，即，則．于是，由式⑤得到

對于題圖2所示的三個緊貼的球，設由上至下三個球的質量分別為、和，且滿足．根據前面的分析，當大球與地面碰撞后，立即與球發生碰撞，由式③可知，當球以相對于地面的速度反跳時，小球正以速度下落題圖2-b1．在相對球為瞬時靜止的慣性系里，小球相對于球以速度與球相碰撞（題圖2-b2）．由于，碰撞后球相對于球以速度反跳（題圖2-b3），即小球相對于地面以速度反跳（題圖2-b4）．因此，小球反跳的高度為

⑥

（2）首先，討論旋轉超球在硬質地面上的碰撞問題．假設碰撞是完全彈性的，且碰撞瞬間超球與地面接觸點處沒有相對滑動，但受到摩擦力的作用，同時忽略重力的影響．為討論方便，碰撞前的運動狀態用下標“0”表示，第一次碰撞后用“1”、第二次碰撞后用“2”表示，依此類推．

取超球運動的平面為平面，如圖所示，設超球的質量為，半徑為，在第一次碰撞前超球質心的速度（以和表示速度的兩個分量）和旋轉角速度（超球對于通過質心的軸的角速度）；碰撞后的速度分量為和，角速度為，設接觸點處的摩擦力為，法向力為，作用時間為．

根據質點的動量定理，在方向有

⑦

根據動量矩定理，對通過質心的軸有

⑧

其中，為超球對于通過質心的軸的轉動慣量，對于均質實心球，有

此外，對于彈性碰撞，因摩擦力不做功，由機械能守恒定律可得

⑨

考慮到完全彈性碰撞，可知 ⑩

由式⑦和式⑧，可得

再由式⑨，并利用式⑩與式，得到

現在，要實現在、兩點之間來回反跳，要求、兩處反跳后的運動狀態左右對稱，因此反跳前后超球質心的速度與角速度應滿足：

，，

將式代入式中，得到

可見，若超球以角速度旋轉，同時以的水平分速度與地面碰撞，則反跳后超球以的水平分速度和以再次與地面相撞，這樣超球就來回反跳