Question

（1）如圖a所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O為球心，一質量為m的小滑塊，在水平力F的作用下靜止P點．設滑塊所受支持力為F_N．OP與水平方向的夾角為θ．則F=______，F_N=______．
（2）2011年4月10日，我國成功發射第8顆北斗導航衛星，建成以后北斗導航衛星系統將包含多可地球同步衛星，這有助于減少我國對GPS導航系統的依賴，GPS由運行周期為12小時的衛星群組成，設北斗星的同步衛星和GPS導航的軌道半徑分別為R₁和R₂，向心加速度分別為a₁和a₂，則R₁：R₂=______．a₁：a₂=______（可用根式表示）
（3）一質量為M、傾角θ為的斜面體在水平地面上，如圖b中質量為m的小木塊（可視為質點）放在斜面上，現用一平行于斜面的、大小恒定的拉力F作用于小木塊，拉力在斜面所在的平面內繞小木塊旋轉一周的過程中，斜面體和木塊始終保持靜止狀態，則小木塊受到斜面的最大摩擦力為______，斜面體受到地面的最大摩擦力為______．

Answer 1

（1）滑塊的受力情況如圖所示，

由物體的平衡條件可得：
F_Nsinθ=mg，F_Ncosθ=F，
聯立解得：F_N=

mg

sinθ

，F=mgcotθ．
（2）北斗星的同步衛星和GPS導航的周期分別為T₁=24h，T₂=12h，根據開普勒第三定律得：

T 21

T 22

=

R 31

R 32

得：

R1

R2

=

3	T 21 T 22

=

3	4

衛星的向心力由地球的萬有引力充當，設地球的質量為M，衛星的質量為m，衛星的軌道半徑為R，則
   G

Mm

R2

=ma
得，a=

GM

R2

故a₁：a₂=

R

22

：

R

21

=1：

3	16

（3）當F沿斜面向下時，小木塊受到斜面的摩擦力最大，最大值為f_1m=F+mgsinθ；
對整體：當F沿水平方向時，斜面受到的靜摩擦力最大，最大值為f_2m=F；
故答案為：
（1）mgcotθ，

mg

sinθ

；
（2）

3	4

：1，1：

3	16

   
（3）F+mgsinθ，F