Question

（14分）如圖所示，在豎直平面內固定有兩個很靠近的同心圓形軌道，外圓ABCD光滑，內圓A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑．一質量m＝0.2 kg的小球從軌道的最低點A以初速度v₀向右運動，球的尺寸略小于兩圓間距，球運動的半徑R＝0.2 m，取g＝10 m/s².(1)若要使小球始終緊貼外圓做完整的圓周運動，初速度v₀至少為多少？(2)若v₀＝3 m/s，經過一段時間小球到達最高點，內軌道對小球的支持力N＝2 N，則小球在這段時間內克服摩擦力做的功是多少？(3)若v₀＝3 m/s，經過足夠長的時間后，小球經過最低點A時受到的支持力為多少？小球在整個運動過程中減少的機械能是多少？

Answer 1

(1)3.16 m/s　(2)0.1 J　(3)6 N　0.5 J

試題分析：(1)設此情形下小球到達最高點的最小速度為v_C，則有
小球從A運動到C由機械能守恒定律有
m＝m＋2mgR  
代入數據解得v₀＝ m/s＝3.16 m/s.
(2)設此時小球到達最高點的速度為v_C′，克服摩擦力做的功為W，則
 

代入數據解得W＝0.1 J． 
(3)經足夠長的時間后，小球在下半圓軌道內做往復運動，設小球經過最低點的速度為v_A，受到的支持力為N_A，則有

代入數據解得N_A＝6 N
設小球在整個運動過程中減少的機械能為ΔE，由功能關系有 
代入數據解得ΔE＝0.5 J．