Question

如圖所示，坐標平面的第Ⅰ象限內存在大小為E、方向水平向左的勻強電場，足夠長的擋板MN垂直x軸放置且距離點O為d，第Ⅱ象限內存在垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B．一質量為m，帶電量為一q的粒子（重力忽略不計）若自距原點O為L的A點以一定的速度垂直x軸進入磁場，則粒子恰好到達O點而不進入電場．現將該種粒子兩個仍從A點但以不同方向先后射入磁場，但初速度大小變為原來的4倍，為使粒子進入電場后能同時垂直到達擋板MN上被吸收，求：
（1）這兩個粒子從A點射入磁場的時間間隔．
（2）粒子打到擋板MN上時的速度大小．

Answer 1

分析：畫出軌跡由幾何關系確定粒子的半徑大小，然后根據半徑公式求出粒子的速度，然后求而出當速度加倍后的半徑

解答：解：（1）粒子在磁場中作圓周運動半徑為r，速度為v₀，由牛頓第二定律知：
qv₀B=m

v02

r

所以圓周運動的半徑為r=

mv0

qB

由幾何關系知：r=

l

2

得初速度大小為v₀=

Bql

2m

設粒子初速度為原來的4倍時半徑為r₁，速度為v₁，由牛頓第二定律知：
qv₁B=m

v12

r1

v₁=4v₀
解得：r₁=2L
v₁=

2qBL

m

為使粒子進入電場后能垂直到達擋板MN上，粒子必須平行x軸進入電場，圓心O在y軸上，設速度方向與x軸正方向夾角為θ，由幾何關系知：
sinθ=

OA

O1A

=

L

2L

=

1

2

所以θ=30°或θ=150°
粒子在磁場中運動時間分別為t₁=

30°

360°

T=

πm

6Bq

t₂=

150°

360°

T=

5πm

6Bq

兩粒子射入的時間間隔△t=t₂-t₁=

2πm

3Bq

（2）設粒子到達擋板速度為v₂，由動能定理知：
qEd=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²
解得：v₂=

2qEd m + 4q2B2L2 m2

答：（1）這兩個粒子從A點射入磁場的時間間隔=

2πm

3Bq

．
（2）粒子打到擋板MN上時的速度大小為

2qEd m + 4q2B2L2 m2

．

點評：本題考查了帶電粒子在組合場中的運動，畫出軌跡分階段處理是關鍵，帶電粒子在電場中加速的情況通常由動能定理解決比較簡單．