Question

在平面直角坐標系的第一象限內存在一有界勻強磁場，該磁場的磁感應強度大小為B=0.1T，方向垂直于xOy平面向里，在坐標原點O處有一正離子放射源，放射出的正離子的比荷都為

q

m

=1×10⁶C/kg，且速度方向與磁場方向垂直．若各離子間的相互作用和離子的重力都可以忽略不計．
（1）如圖甲所示，若第一象限存在直角三角形AOC的有界磁場，∠OAC=30°，AO邊的長度l=0.3m，正離子從O點沿x軸正方向以某一速度射入，要使離子恰好能從AC邊射出，求離子的速度大小及離子在磁場中運動的時間．
（2）如圖乙所示，若第一象限存在一未知位置的有界勻強磁場，正離子放射源放射出不同速度的離子，所有正離子入射磁場的方向均沿x軸正方向，且最大速度v_m=4.0×10⁴m/s，為保證所有離子離開磁場的時候，速度方向都沿y軸正方向，試求磁場的最小面積，并在圖乙中畫出它的形狀．

Answer 1

（1）正離子在磁場內做勻速圓周運動，離子剛好從AC邊上的D點射出時，如圖甲所示，離子軌跡圓的圓心為O′，軌道半徑為r，由幾何知識得：
r+2r=l
故r=

l

3

=0.1m
粒子在磁場中運動，洛倫茲力提供向心力
qvB=m

v2

r

聯立以上各式的：v=

qBr

m

=1.0×10⁴m/s
若正離子恰好從AC邊射出，由幾何知識可知，圓心角∠DO′O=120°
又因T=

2πm

qB

所以正離子在磁場中運動的時間t=

θ

360°

T=2.1×10^-5s
（2）所有離子進入磁場后均做逆時針方向的勻速圓周運動，且入射方向沿x軸正方向，離開時沿y軸正方向，速度偏轉角為

π

2

，并且所有離子的軌跡圓的圓心都在y軸正半軸上，
所以滿足題意的最小磁場區域為圖乙所示，
根據牛頓第二定律有：
qv_mB=m

vm2

Rm

得：R_m=

mvm

qB

=0.4m
所以磁場區域最小面積為：
S=

1

4

πR_m²-

1

2

R_m²=0.04（π-2）=0.0456m²
答：（1）離子的速度大小為1.0×10⁴m/s，離子在磁場中運動的時間為2.1×10^-5s．
（2）磁場的最小面積為0.0456m²．