Question

【題目】一水平放置的橫截面積為的兩端封閉的玻璃管，其中充滿理想氣體，現用兩個質量同為，厚度可略的活塞將該玻璃管分成、、三段，段、段長度同為，段長度為，兩活塞用長為的不可伸長且不會斷裂的輕質細繩相連，三段中的氣體壓強都為，如圖所示，現將玻璃管以過其中心且垂直于玻璃管的直線為轉軸，以角速度做勻速轉動，假設涉及過程為等溫過程，并且各段氣體內部的壓強差異可略去，氣體的質量相對于活塞質量可以忽略

（1）角速度時，求最終兩活塞均在管中處于力平衡位置時，除去初態以外段氣體的可能長度（有效數字保留3位）

（2）角速度時，求最終兩活塞均在管中處于力平衡位置時，除去初態以外段氣體的可能長度（有效數字保留3位）

Answer 1

【答案】(1) (2) ，

【解析】

（1）假設旋轉后輕質細繩保持為松弛狀態，如圖所示，段氣體壓強，長度為，段氣體壓強，長度為，段氣體壓強，長度為．

左邊活塞與轉軸距離為，右邊活塞與轉軸距離為，則對、、三段氣體，由理想氣體等溫過程性質可得，，，其中，．

對轉動情況下的活塞運用牛頓第二定律得，．

聯合以上方程，并令，，可得

，．

改寫為． （*）

當時，，解上式得兩個解，．

此時段氣體的長度為，

段氣體長度為，

段氣體長度為．

由以上可知，時，細繩仍保持松弛，段氣體的長度可能為．

此時兩活塞都在的同一側．

由于上述方程解中沒有出現段氣體長度超過的解，所以繩子不會出現緊繃的情況．

（2）仍假設繩松弛，當時，，解（*）式得4個解：

，，，，，，．

對應段氣體長度為，，，，，，．

段氣體長度為 ，，，，，，．

段氣體長度為 ，，，．

由以上的分析可知，前兩個解對應繩松弛的狀態，即段氣體長度為

，，．

此時兩個活塞都位于的同一側．

同時注意到有段長度超過的解，所以繩子可能會出現緊繃的情況，假設繩子處于緊繃狀態，活塞受到的拉力為，則活塞的動力學方程變為

，．

由此同樣可得．

增加一個幾何關系為，即，

由此可得：．

但此時．

其中負號表示繩子對活塞的力不是拉力，而是排斥力，這不滿足軟繩的要求，所以不會出現繩子緊繃的解．

綜上，時，段氣體長度可能為，，