Question

如圖所示，長為L的木板A靜止在光滑的水平桌面上，A的左端上方放有小物體B(可視為質點)，一端連在B上的細繩，繞過固定在桌子邊沿的定滑輪后，另一端連在小物體C上，設法用外力使A，B靜止，此時C被懸掛著。A的右端距離滑輪足夠遠，C距離地面足夠高，已知A的質量為6m，B的質量為3m，C的質量為m。現將C物體豎直向上提高距離2L，同時撤去固定A，B的外力。再將C 無初速釋放，當細繩被拉直時B，C速度的大小立即變成相等，由于細繩被拉直的時間極短，此過程中重力和摩擦力的作用可以忽略不計，細繩不可伸長，且能承受足夠大的拉力。最后發現B在A上相對A滑行的最大距離為L。細繩始終在滑輪上，不計滑輪與細繩之間的摩擦，計算中可認為A，B之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取重力加速度g=10 m/s²。
(1)求細繩被拉直前瞬間C物體速度的大小v₀；
(2)求細繩被拉直后瞬間B，C速度的大小v；
(3)在題目所述情景中，只改變C物體的質量，可以使B從A上滑下來，設C的質量為km，求k至少為多大？

Answer 1

解：(1)C做自由落體運動，下降高度為2L時的速度為v₀
根據得
(2)此時細繩被拉直，B，C速度的大小立即變成v，設繩子對B，C的沖量大小為I，根據動量定理得
對B：I=3mv
對C：-I=mv-mv₀
解得B，C速度的大小
(3)設C物體的質量為km，A，B之間的動摩擦因數為μ
由(2)可知，細繩被拉直時B，C速度的大小
此后B物體的加速度
A物體的加速度
經時間t，B物體的速度v₁=v'+a₁t
B物體的位移
同樣，A物體的速度v₂=a₂t，A物體的位移
①根據題意，若k=1，當v₁=v₂時，，解μ=0.4
②要使v₁=v₂時，x₁-x₂=1，利用①求得的動摩擦因數μ
可得
即C物體的質量至少為1.29m時，才可以使B物體從A上滑下來