Question

【題目】如圖所示,在平面坐標(biāo)系xOy的第一象限內(nèi)有一半圓形區(qū)域,其半徑為R,半圓的一條直徑與x軸重合, O為該直徑的一個端點(diǎn)。半圓內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場,半圓外存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場,半圓內(nèi)外磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B0,在坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一粒子源,沿x軸正方向不斷發(fā)射出質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的粒子,粒子的發(fā)射速度為大于零的任意值(不考慮相對論效應(yīng))。已知半圓形邊界處存在特殊物質(zhì),當(dāng)粒子由半圓內(nèi)向半圓外運(yùn)動時,粒子不受任何影響,但當(dāng)粒子由半圓外向半圓內(nèi)運(yùn)動時,粒子就會被邊界處的特殊物質(zhì)吸收。不計粒子的重力和粒子間的相互作用力。

(1)求從O點(diǎn)發(fā)射的所有粒子中,不會從y軸正半軸射入第二象限的粒子的速度的取值范圍; (已知:)

(2)證明最終打在半圓形邊界且被特殊物質(zhì)吸收的粒子,在磁場中運(yùn)動的總時間都相等,并且求出該時間;

(3)若第一象限內(nèi)半圓形外區(qū)域的磁場存在一上邊界y=a ,要想使所有粒子都不會從磁場上邊界射出,則a至少為多大。

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)2R

【解析】

（1）分析不進(jìn)入第二象限的條件，然后根據(jù)幾何關(guān)系及洛倫茲力作向心力來求解速度范圍；

（2）畫出打在半圓形邊界的圖，然后根據(jù)幾何關(guān)系求得粒子運(yùn)動的中心角，再根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動的周期求解時間；

（3）分析粒子運(yùn)動軌跡，將粒子運(yùn)動的最高點(diǎn)用半圓半徑表示出來，即可求得a的最小值．

（1）如圖甲所示；

當(dāng)粒子在半圓外做圓周運(yùn)動恰好與y軸相切時，此時粒子的速度為最小值，設(shè)帶電粒子在磁場內(nèi)做勻速圓周 運(yùn)動的軌道半徑為r，軌跡圓心O2與半圓圓心O1連線與x軸之間的夾角為θ，由幾何關(guān)系可知

兩式聯(lián)立可得:θ=15°, r=Rtan15°

又

得

所以不會從y 軸正半軸射入第二象限的粒子的速度的取值范圍為

（2）如圖乙所示做出某一速度粒子的軌跡，最終打在半圓邊界，

由幾何關(guān)系可知: θ1+ θ2=360°

所以帶電粒子在磁場中運(yùn)動的總時間為

（3）如圖丙所示做出某一速度粒子的軌跡,設(shè)其最高點(diǎn)為P,軌跡圓心O2與半圓圓心O1連線與x軸之間的夾角為θ，由幾何關(guān)系可得P距x軸的距離（也就是P點(diǎn)的縱坐標(biāo)）為y

又因為

兩式聯(lián)立可得

當(dāng)θ=45°時，x取到最大值ymax=2R

所以想使所有粒子都不會從磁場上邊界射出，a的最大值為amax=2R