Question

如圖所示，傾角37°的斜面上，輕彈簧一端固定在A點，自然狀態時另一端位于B點．斜面上方有一半徑R=1m、圓心角等于143°的豎直圓弧形光滑軌道與斜面相切于D處，圓弧軌道的最高點為M．用質量為m₁=6.3kg的物塊將彈簧緩慢壓縮至C點，由靜止釋放后彈簧恢復原長時物塊到B點速度恰好減小為0．用同種材料、質量為m₂=0.3kg的另一小物塊將彈簧緩慢壓縮到C點后由靜止釋放，物塊經過B點后的位移與時間的關系為x=8t-4t²（x單位：m，t單位：s），若物塊經過D點后恰能到達M點，重力加速度g=m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
求：
（1）物塊與斜面間的動摩擦因數；
（2）BD間的距離l_BD；
（3）m₂從被釋放至運動到M點的過程中克服摩擦力做的功W．

Answer 1

分析：（1）由x=8t-4t²分析出物塊經過B速度，B到D過程的加速度，根據牛頓第二定律求解物塊與斜面間的動摩擦因數；
（2）物塊經過D點后恰能到達M點時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出物塊經過M點的速度，物塊D到M的過程中，只有重力做功，機械能守恒，可求出物塊經過D點的速度，由運動學公式求出BD間的距離l_BD；
（3）兩個物體從C到B過程，彈簧彈力做功相同，分別對兩個物體研究C到B過程，可求出l_CB，即可求出m₂從被釋放至運動到M點的過程中克服摩擦力做的功W．

解答：解：（1）由物塊經物塊經過B點后的位移與時間的關系為x=8t-4t²，可知，物塊經過B點時的速度為v_B=8m/s，從B到D的過程中加速度大小為a=8m/s²．
根據牛頓第二定律，有
  mgsin37°+μmgcos37°=ma
解得，μ=0.25
（2）設物塊經過M點的速度為v_M，由牛頓第二定律得
   mg=

m v 2 M

R

物塊從D到M的過程中，根據機械能守恒定律得
 

1

2

m

v

2 D

=mgR（1+cos37°）+

1

2

m

v

2 M

物塊從B到D的過程中，有

v

2 D

-

v

2 B

=-2alBD
解得，lBD=

9

8

m
（2）設物塊由C到B過程彈簧彈力做的功為W彈，對m₁、m₂，由C到B的過程，
根據動能定理，分別有
-μm₁gl_CBcos37°-m₁gl_CBsin37°+W_彈=0
-μm₂gl_CBcos37°-m₂gl_CBsin37°+W彈=

1

2

m2

v

2 B

又W=μm₂gcos37°（l_CB+l_BD）
解得，W=0.795J
答：
（1）物塊與斜面間的動摩擦因數是0.25；
（2）BD間的距離l_BD是

9

8

m．
（3）m₂從被釋放至運動到M點的過程中克服摩擦力做的功W是0.795J．

點評：本題是力學綜合題，分析過程是基礎，把握解題規律是關鍵，要抓住C到B過程中，彈簧的彈力做功相同．