Question

如圖所示為放置在豎直平面內游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細均勻的金屬桿組成，其中傾斜直軌AB與水平直軌CD長均為L=3m，圓弧形軌道APD和BQC均光滑，AB、CD與兩圓弧形軌道相切，BQC的半徑為r=1m，APD的半徑為R=2m，O₂A、O₁B與豎直方向的夾角均為θ=37°．現有一質量為m=1kg的小球穿在滑軌上，以E_k0的初動能從B點開始沿AB向上運動，小球與兩段直軌道間的動摩擦因數均為μ=

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，設小球經過軌道連接處均無能量損失．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）要使小球能夠通過弧形軌道APD的最高點，初動能E_K0至少多大？
（2）求小球第二次到達D點時的動能；
（3）小球在CD段上運動的總路程．（第（2）（3）兩問中的E_K0取第（1）問中的數值）

Answer 1

分析：（1）要使小球能夠向上運動并回到B點，有兩個臨界條件的要求：一是要使小球能夠通過圓弧APD的最高點，二是通過了圓弧APD的最高點后還能夠再次到達B點．根據能量守恒分別求出小球恰好通過圓弧APD的最高點以及恰好到達B點時的初動能，比較兩種情況下的初動能，從而得出初動能E_K0的最小值．
（2）根據動能定理求出小球從B點出發又回到B點時的動能，根據動能定理判斷其能上升的最大高度，若不能上滑到最高點，由于重力的分力大于滑動摩擦力，小球會下滑，求出小球在AB桿上摩擦產生的熱量．根據能量守恒求出第二次經過D點的動能．
（3）通過第二問解答知小球能夠第二次到達D點，根據能量守恒定律討論小球能否第二次通過D點返回后上升到B點，從而確定小球的運動情況，最后根據動能定理求出小球在CD段上運動的總路程．

解答：解：（1）小球至少需要越過弧形軌道APD的最高點，
根據動能定理：-mg[（R-Rcosθ）+Lsinθ]-μmgLcosθ=0-E_K0 ，
代入數值解得：E_k0=30J；
（2）從B點出發到小球第一次回到B點的過程中，
根據動能定理：-μmgLcosθ-μmgL=E_KB-E_K0，
解得：E_kB=12J，
小球沿AB向上運動到最高點，距離B點為s，
則有：E_kB=μmgscosθ+mgssinθ，
解得：s=

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m，
小球繼續向下運動，當小球第二次到達D點時動能為E_KD，
mg[（r+rcosθ）+s?sinθ]-μmgscosθ-μmgL=E_KD-0，
解得：E_KD≈12.6J；
（3）小球第二次到D點后還剩12.6J的能量，沿DP弧上升后再返回DC段，
到C點只剩下2.6J的能量．因此小球無法繼續上升到B點，
滑到BQC某處后開始下滑，之后受摩擦力作用，小球最終停在CD上的某點．
由動能定理：E_KD=μmgs₁，
解得：s₁=3.78m，
小球通過CD段的總路程為S_總=2L+s=9.78m；
答：（1）要使小球能夠通過弧形軌道APD的最高點，初動能E_K0至少為30J；
（2）小球第二次到達D點時的動能12.6J；
（3）小球在CD段上運動的總路程為9.78m．

點評：本題過程較復雜，關鍵是理清過程，搞清運動規律，合適地選擇研究的過程，運用動能定理和能量守恒定律進行解題．