Question

【題目】如圖所示，質量為M、傾角為α的斜面體（斜面光滑且足夠長）放在粗糙的水平地面上，底部與地面的動摩擦因數為μ，斜面頂端與勁度系數為k、自然長度為l的輕質彈簧相連，彈簧的另一端連接著質量為m的物塊。壓縮彈簧使其長度為3l/4時將物塊由靜止開始釋放，物塊在斜面上做簡諧運動且物塊在以后的運動中，斜面體始終處于靜止狀態。重力加速度為g。

（1）求物塊處于平衡位置時彈簧的伸長量；

（2）求物塊的振幅和彈簧的最大伸長量；

（3）使斜面始終處于靜止狀態，動摩擦因數μ應滿足什么條件（假設滑動摩擦力等于最大靜摩擦力）？

Answer 1

【答案】（1） （2）（3）

【解析】（1）設物塊處于平衡位置時彈簧的伸長量為Δl，則

解得

（2）物塊做簡諧運動的振幅為

由簡諧運動的對稱性可知，彈簧的最大伸長量為:

（3）以物塊的平衡位置為原點、沿斜面向下為位移正方向建立坐標系，設某時刻物塊位移x為正，斜面受到彈簧沿斜面向下的拉力F、地面的水平向右的摩擦力f，如圖所示。

由于斜面受力平衡，則有

在水平方向上有： ；

在豎直方向上有：

又 ，

聯立可得 ，

為使斜面始終處于靜止狀態，結合牛頓第三定律，應滿足

所以

因-A≤x≤A，所以當-A時，上式右端達到最大值，于是有

【另解】 對由斜面、物塊、彈簧組成的系統受力分析，受重力（M＋m）g、地面的支持力N和水平方向的靜摩擦力f作用，如圖所示。

建立圖示直角坐標系，根據牛頓第二定律可知：

在水平方向上有：f=M×0＋macosα；

在豎直方向上有：N－（M＋m）g=M×0＋masinα

其中，靜摩擦力f≤fm＝μN，

又因彈簧振子有kx=-ma且－A≤x≤A，

聯立以上各式，解得： .